Đề Thi Chọn Đội Tuyển Tỉnh Quảng Ngãi Dự Thi Học Sinh Giỏi Quốc Gia THPT 2015-2016

1. Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng $$\frac{3}{2a+b+\sqrt{8bc}}+\frac{3}{2}\geq \frac{8}{\sqrt{2b^2+2\left ( a+c \right )^2}+3}+\frac{1}{a+b+c}.$$
2. Cho dãy số $(u_n)$ được xác định bởi $$u_1=3,\quad u_{n+1}=\dfrac{u_n^2+2012u_n+2}{2015},\,\forall n\in\mathbb N^*.$$ Thành lập dãy $(v_n)$ với $\displaystyle v_n=\sum_{i=1}^{n}\frac{u_i-1}{u_{i+1}-2}$. Tìm $\displaystyle\lim_{n\to +\infty }v_n$.
3. Người ta viết sẵn trên bảng đen $n$ số nguyên dương $1,2,...,n$ với $n \geq 2$ và cho thực hiện trò chơi như sau: Ở mỗi bước đi, người chơi được phép chọn tùy ý hai số đang có trên bảng, xóa chúng đi và viết vào đó một số bằng hai lần tổng của hai số vừa được xóa. Trò chơi kết thúc sau $n-1$ bước đi. Số duy nhất có mặt trên bảng sẽ là số viên kẹo mà người chơi được thưởng. Chứng minh rằng dù chơi thế nào người chơi cũng được thưởng nhiều hơn $\dfrac{4n^3}{9}$ viên kẹo.
4. Trong mặt phẳng cho hai đường tròn $\left ( O_1 \right )$, $\left ( O_2 \right )$ có bán kính không bằng nhau và tiếp xúc ngoài với nhau tại $T$. Kẻ $O_1A$ tiếp xúc với $\left ( O_2 \right )$ tại $A$, $O_2B$ tiếp xúc với $\left ( O_1 \right )$ tại $B$ sao cho $A$, $B$ nằm về cùng một phía với $O_1O_2.$ Lấy $H$ thuộc $O_1A$, $K$ thuộc $O_2B$ sao cho $BH$ và $AK$ cùng vuông góc với $O_1O_2$, $TH$ cắt $\left ( O_1 \right )$ tại $E$, $TK$ cắt $\left ( O_2 \right )$ tại $F$, $O_1A$ cắt $O_2B$ tại $I$, $EF$ cắt $AB$ tại $S$.
   a) Chứng minh $IT$ là phân giác góc $O_1IO_2$.
   b) Chứng minh ba đường thẳng $O_1A$, $O_2B$ và $TS$ đồng quy.
5. Tìm tất cả các hàm số $f$ xác định trên $\mathbb{N}$ và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau $$f(1)=1,\quad 2f(n)f(k+n)-2f(k-n)=3f(n)f(k),\,\forall k\geq n.$$
6. a) Cho $11$ số nguyên dương $a_1,a_2,...,a_{11}$. Chứng minh rằng luôn tồn tại các số $x_i\in \left \{ -1;0;1 \right \}$ $(i=1;2;...;11)$ không đồng thời bằng $0$ sao cho $\displaystyle\sum_{i=1}^{11}x_ia_i$ chia hết cho $2047$.
   b) Cho đa thức $P(x)$ với các hệ số nguyên, chia hết cho $3$ khi $x$ lấy các giá trị nguyên $k$, $k+1$, $k+2.$ Chứng minh rằng $P(m)$ chia hết cho $3$, $\forall m \in \mathbb{Z}$.
7. Trên mặt phẳng cho điểm $I$ cố định và ba đường tròn $\left ( O_1;R_1 \right )$, $\left ( O_2;R_2 \right )$, $\left ( O_3;R_3 \right )$ cùng qua $I$; ngoài ra $A$, $B$, $C$ theo thứ tự là giao điểm thứ hai của $(O_2)$ và $(O_3)$, $(O_3)$ và $(O_1)$, $(O_1)$ và $(O_2)$. Biết rằng $I$ nằm trong tam giác $ABC$. Đường thẳng $d_1$ tiếp xúc với $(O_1)$, $(O_2)$ lần lượt tại $M$, $N$ và không cắt $(O_3)$, đường thẳng $d_2$ tiếp xúc với $(O_2)$, $(O_3)$ lần lượt tại $P$, $Q$ và không cắt $(O_1)$, đường thẳng $d_3$ tiếp xúc với $(O_3)$, $(O_1)$ lần lượt tại $E$, $F$ và không cắt $(O_2)$. Giả sử các đường tròn $(O_1)$, $(O_2)$ và $(O_3)$ thay đổi sao cho $R_1^2+R_2^2+R_3^2 \leq 3$. Hãy tính bán kính của các đường tròn $(O_1)$, $(O_2)$ và $(O_3)$ và khoảng cách giữa các tâm các đường tròn đó sao cho tổng sau lớn nhất $$S=S_{\triangle IMN}+S_{\triangle IPQ}+S_{\triangle IEF}$$