Đề Kiểm Tra Trường Hè Toán Học Ba Miền 2016 (Đại Số)

1. Tìm giá trị lớn nhất có thể có của số nguyên dương $n$ sao cho tồn tại $n$ tam thức bậc hai khác nhau từng đôi một thỏa mãn
   • Mỗi tam thức bậc hai có hệ số của ${{x}^{2}}$ bằng $1$;
   • Tổng của hai tam thức bậc hai bất kỳ có đúng $1$ nghiệm.
2. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể có của số nguyên dương $n$ sao cho tồn tại $n$ số thực ${{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots ,{{a}_{n}}$ thuộc $(-1;1)$ và thỏa mãn điều kiện $${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\cdots +{{a}_{n}}=0,\quad a_{1}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}=k$$ với $k$ nguyên dương cho trước.
3. Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất sao cho tồn tại $n$ số thực thỏa mãn đồng thời các điều kiện
   
   • Tổng của $n$ số đó dương;
   • Tổng lập phương của $n$ số đó âm; 
   • Tổng lũy thừa bậc $5$ của $n$ số đó dương.
4. Người ta viết lên bảng phương trình $$(x-1)(x-2)(x-3)...(x-2016)=(x-1)(x-2)(x-3)...(x-2016)$$ với $2016$ nhân tử bậc nhất ở mỗi vế. Hãy tìm số nguyên dương $k$ nhỏ nhất để có thể xóa đi $k$ nhân tử trong số $4032$ nhân tử nêu trên sao cho mỗi vế còn ít nhất một nhân tử và phương trình thu được không có nghiệm thực.
5. Cho các số thực phân biệt ${{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}},...,{{\alpha }_{16}}$. Với mỗi đa thức hệ số thực $P(x)$, đặt $$V(P(x))=P({{\alpha }_{1}})+P({{\alpha }_{2}})+...+P({{\alpha }_{16}}).$$ Chứng minh rằng tồn tại duy nhất đa thức $Q(x)$ bậc $8$ có hệ số ${{x}^{8}}$ bằng $1$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện
   
   • $V(Q(x)\cdot P(x))=0$ với mọi đa thức $P(x)$ có bậc bé hơn 8;
   • $Q(x)$ có $8$ nghiệm thực (tính cả bội).
6. Tìm giá trị nhỏ nhất của số nguyên dương $n$ sao cho tồn tại đa thức bậc $2n$ có ít nhất một nghiệm thực, đồng thời tất cả các hệ số của đa thức này đều là các số thực thuộc đoạn $[2015;2016].$
7. Cho số thực $k,$ số nguyên dương $n$ và các số thực dương ${{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{n}}.$ Chứng minh rằng tồn tại $n$ số ${{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{n}}$ nhận giá trị thuộc $\text{ }\!\!\{\!\!\text{ }-1;1\}$ sao cho bất đẳng thức sau luôn đúng $${{a}_{1}}x_{1}^{k}+{{a}_{2}}x_{2}^{k}+...+{{a}_{n}}x_{n}^{k}\ge {{\left( {{a}_{1}}{{x}_{1}}+{{a}_{2}}{{x}_{2}}+...+{{a}_{n}}{{x}_{n}} \right)}^{k}}.$$
8. Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho trong $n$ số thực dương ${{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{n}}$ thỏa mãn $$\max ({{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{n}})\le \frac{n}{2}\min ({{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{n}})$$ luôn tồn tại ba số là chiều dài các cạnh của một tam giác nhọn.
9. Với mỗi tập $M\subset \mathbb{R}$ hữu hạn, bị chặn, ta kí hiệu $$\text{conv}\left( M \right)=\left\{ \sum\limits_{i=1}^{n}{{{\lambda }_{i}}.{{x}_{i}}}|n\in {{\mathbb{N}}^{*}},{{\lambda }_{i}}\in \mathbb{R},{{\lambda }_{i}}\ge 0,\sum\limits_{i=1}^{n}{{{\lambda }_{i}}}=1,{{x}_{i}}\in M \right\}.$$ Chứng minh rằng với mỗi tập $M\subset \mathbb{R},M\ne \varnothing $ và $\forall x\in \text{conv}(M),\forall \varepsilon >0$ thì ta có thể chọn được các phần tử ${{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{k}}\in M$ sao cho $$\left| \frac{1}{k}\sum\limits_{i=1}^{k}{{{x}_{i}}}-x \right|<\varepsilon .$$
10. Cho trước hai số nguyên dương $k,n$. Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên dương ${{m}_{1}},{{m}_{2}},...,{{m}_{k}}$ thỏa mãn $$1+\frac{{{2}^{k}}-1}{n}=\left( 1+\frac{1}{{{m}_{1}}} \right)\left( 1+\frac{1}{{{m}_{2}}} \right)...\left( 1+\frac{1}{{{m}_{k}}} \right).$$
11. Hãy xác định tất cả các số nguyên dương $m$ sao cho tồn tại các đa thức với hệ số thực $P(x)$, $Q(x)$, $R(x,y)$ thỏa mãn điều kiện: với mọi số thực $a$, $b$ mà ${{b}^{2}}={{a}^{m}}$ thì $P(R(a,b))=a$ và $Q(R(a,b))=b$.
12. Tìm giá trị lớn nhất có thể có của số nguyên dương $n$ sao cho tồn tại $n$ số thực dương ${{x}_{1}},{{x}_{2}},\ldots ,{{x}_{n}}$ khác nhau đôi một thỏa mãn với mọi số nguyên $i,j$ thỏa mãn $1\le i\ne j\le n$ thì $$(3{{x}_{i}}-{{x}_{j}})({{x}_{i}}-3{{x}_{j}})\ge {{(1-{{x}_{i}}{{x}_{j}})}^{2}}.$$
13. Chứng minh tồn tại vô số số $n$ sao cho phần lẻ của $\ln [(2{{n}^{2}}+1)({{n}^{2}}+n+1)]$ không vượt quá $\dfrac{1}{2016}$.
14. Cho một dãy bất kỳ gồm vô hạn các số thực dương ${{a}_{0}},{{a}_{1}},{{a}_{2}},...$. Chứng minh tồn tại vô hạn giá trị $n$ để bất đẳng thức sau đúng $$1+{{a}_{n}}>{{a}_{n-1}}\sqrt[n]{2}.$$
15. Cho đa thức bậc ba hệ số nguyên $P(x)$ thỏa mãn điều kiện: tồn tại vô số cặp số nguyên phân biệt $(m,n)$ sao cho $mP(m)=nP(n)$. Chứng minh đa thức $P(x)$ có nghiệm nguyên.
16. Cho $P(x)$ là đa thức với hệ số thực thỏa mãn điều kiện: tồn tại vô số cặp số nguyên $(m,n)$ sao cho $P(m)+P(n)=0$. Chứng minh rằng đồ thị của hàm số $y=P(x)$ có tâm đối xứng.
17. Cho dãy các đa thức hệ số thực ${{\left\{ {{P}_{n}}(x) \right\}}_{n=1,2,3,...}}$ thỏa mãn điều kiện $${{P}_{n}}(2\cos x)={{2}^{n}}\cos nx,\,\forall x\in \mathbb{R},\,\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}.$$ Tìm số $k$ nhỏ nhất thỏa mãn $$\frac{\sqrt[2016]{{{P}_{2016}}(x)}-2}{x-2}\le k,\,\forall x\ne 2.$$
18. Cho đa thức $f(x)$ hệ số thực khác hằng. Chứng minh với mỗi số $c>0$, tồn tại số nguyên dương ${{n}_{0}}$ thoả mãn điều kiện: nếu đa thức $P(x)$ với hệ số thực có bậc $k$ không nhỏ hơn ${{n}_{0}}$ và có hệ số của số hạng bậc cao nhất bằng $1$ thì số các số nguyên $x$ thỏa mãn $\left| f(P(x)) \right|\le c$ không vượt quá $k$.
19. Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho tồn tại đa thức hệ số nguyên $P(x)$ có bậc bằng $n$ với hệ số đầu dương thỏa mãn điều kiện $$\frac{4{{x}^{2}}{{P}^{2}}(x)+P(x)}{{{x}^{2}}-1}$$ là bình phương của một đa thức hệ số nguyên.
20. Chứng minh với mỗi số nguyên dương $n$, tồn tại đa thức $P(x)\in \mathbb{Z}[x]$ bậc $n$ sao cho $P(0),P(1),...,P(n)$ phân biệt và tất cả các số đó đều có dạng ${{2.2016}^{k}}+3$ với $k$ nguyên dương.
21. Cho tập hợp $S$ gồm $2016$ phần tử là các số thực đôi một phân biệt. Chứng minh trong $S$ chứa $4$ số $a,b,c,d$ (không nhất thiết phân biệt) mà $a>b$, $c>d$, ${{(a-c)}^{2}}+{{(b-d)}^{2}}\ne 0$ thỏa mãn $$\left| \frac{a-b}{c-d}-1 \right|<{{10}^{-5}}.$$
22. Cho $n$ là một số nguyên dương không phải là số lập phương. Xét các số $a,b,c$ cho bởi công thức $a=\sqrt[3]{n}$, $b=\dfrac{1}{\left\{ a \right\}}$, $c=\dfrac{1}{\left\{ b \right\}}$ trong đó $\left\{ x \right\}$ là phần lẻ của số thực $x$. Chứng minh có vô hạn $n$ sao cho tồn tại các số nguyên $r,s,t$ không cùng bằng không mà $ra+sb+tc=0$.
23. Cho ${{a}_{ij}}$ là các số thực thỏa mãn ${{a}_{ij}}>0$ nếu $i=j$ và ${{a}_{ij}}<0$ nếu $i\ne j$. Chứng minh rằng tồn tại các số thực dương ${{c}_{1}},{{c}_{2}},{{c}_{3}}$ sao cho các số $${{a}_{11}}{{c}_{1}}+{{a}_{12}}{{c}_{2}}+{{a}_{13}}{{c}_{3}},{{a}_{21}}{{c}_{1}}+{{a}_{22}}{{c}_{2}}+{{a}_{23}}{{c}_{3}},{{a}_{31}}{{c}_{1}}+{{a}_{32}}{{c}_{2}}+{{a}_{33}}{{c}_{3}}$$ cùng bằng không, cùng dương hoặc cùng âm.
24. Cho hàm số $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ thỏa mãn $$f(m)+f(n)+f(f({{m}^{3}}+{{n}^{3}}))=2017,\,\forall m,n\in \mathbb{Z}.$$ Giả sử rằng tồn tại các số nguyên $a,b$ sao cho $f(a)-f(b)=3$. Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên $c,d$ thỏa mãn $f(c)-f(d)=2016$.
25. Cho $a,b,c$ là các số nguyên dương thoả mãn điều kiện $a<\dfrac{b}{2}<\dfrac{c}{4}$. Chứng minh tồn tại một số thực $\lambda $ thỏa mãn $$\left\{ \lambda a \right\},\left\{ \lambda b \right\},\left\{ \lambda c \right\}\in \left( \frac{1}{3},\frac{2}{3} \right].$$
26. Cho các số thực ${{x}_{i}},i=1,2,...,100$ thỏa mãn $\sum\limits_{i=1}^{100}{x_{i}^{2}}=1.$ Chứng minh tồn tại các số nguyên ${{a}_{i}},i=1,2,...,n$ thuộc đoạn $[-200;200]$ thỏa mãn $$\left| \sum\limits_{i=1}^{100}{{{a}_{i}}{{x}_{i}}} \right|\le \frac{2016}{{{200}^{100}}}.$$
27. Cho $f(x)=a{{x}^{2}}+bx+c\in \mathbb{R}[x]$, $a\ne 0$ thỏa mãn $f(x)\ge 0$, $\forall x\ge 0$. Chứng minh rằng tồn tại đa thức $P(x)$ sao cho đa thức $f(x)P(x)$ có tất cả các hệ số đều không âm.
28. Cho $2016$ số thực $x_i \in[-1;1]$ với mọi $i=\overline{1,...,2016}$ thỏa mãn $\left| \sum\limits_{i=1}^{2016}{{{x}_{i}}} \right|>1$. Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên dương $k$ sao cho $$\left| \sum\limits_{i=1}^{k}{{{x}_{i}}}-\sum\limits_{i=k+1}^{2016}{{{x}_{i}}} \right|\le 1.$$
29. Xét $n$ số nguyên dương $0<{{x}_{1}}\le {{x}_{2}}\le ...\le {{x}_{n}}<2$ có tổng bằng $3$. Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên dương $k\in [1;n-1]$ sao cho $$1\le {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+...+{{x}_{k}}\le 2.$$
30. Cho hàm $f:(0;1)\to (0;1)$ xác định bởi $$f(x)=x+\frac{1}{2},\,\forall x<\frac{1}{2},\quad f(x)={{x}^{2}},\,\forall x\ge \frac{1}{2}.$$ Xét $0<a<b<1$ và hai dãy $${{a}_{0}}=a,\,{{b}_{0}}=b,\quad {{a}_{n}}=f({{a}_{n-1}}),\,{{b}_{n}}=f({{b}_{n-1}}),\,\forall n\in\mathbb N^*.$$ Chứng minh rằng tồn tại $n$ thỏa mãn $({{a}_{n}}-{{a}_{n-1}})({{b}_{n}}-{{b}_{n-1}})<0.$
31. Cho đa thức $P(x)\in \mathbb{R}[x]$ bậc $n$ sao cho $\frac{2{P}'(-1)}{P(-1)}+n\ge 0.$ Chứng minh rằng $P(x)$ có ít nhất một nghiệm (thực hoặc phức) ${{x}_{0}}$ thỏa mãn $\left| {{x}_{0}} \right|\ge 1.$
32. Tồn tại hay không các số thực ${{a}_{ij}}\in [0;1]$, $\forall i=1,...,2016$; $j=1,...,2016$ thỏa mãn điều kiện sau $$\frac{1}{\sqrt[2016]{mn}}\sum\limits_{i=1}^{m}{\sum\limits_{j=1}^{n}{{{a}_{ij}}}}=1,\,\forall m=1,...,2016,\,n=1,...,2016.$$
33. Cho $({{a}_{n}})$ là dãy số dương sao cho tồn tại $M>0$ thỏa $$a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2}<Ma_{n+1}^{2},\,\forall n\ge 1.$$ Chứng minh tồn tại ${M}'>0$ sao cho $${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{n}}<{M}'{{a}_{n+1}},\,\forall n\ge 1.$$
34. Cho ${{a}_{0}}<{{a}_{1}}<{{a}_{2}}\ldots $ là một dãy vô hạn số nguyên dương. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất $n\ge 1$ sao cho $${{a}_{n}}<\frac{{{a}_{0}}+{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\cdots +{{a}_{n}}}{n}\le {{a}_{n+1}}.$$ Nếu bỏ giả thiết dãy nguyên dương thì kết quả trên còn đúng nữa không?.
35. Cho dãy các số thực ${{a}_{1}},{{a}_{2}},...$ thỏa mãn tồn tại $c$ sao cho $0\le {{a}_{i}}\le c$, $\forall i\ge 1$ và $\left| {{a}_{i}}-{{a}_{j}} \right|\ge \frac{1}{i+j}$, $\forall i,j$ mà $i\ne j$. Chứng minh $c\ge 1$.
36. Chứng minh với mỗi số nguyên $n$ tồn tại vô hạn cách viết $n$ dưới dạng $$n=\pm {{1}^{2}}\pm {{2}^{2}}\pm ...\pm {{k}^{2}}$$ với số nguyên dương $k$ và các dấu $+$, $−$ được chọn phù hợp.
37. Tìm tất cả các số thực $k$ sao cho tồn tại các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc=1$ và $$\frac{1}{{{a}^{k}}(b+c)}+\frac{1}{{{b}^{k}}(c+a)}+\frac{1}{{{c}^{k}}(a+b)}<\frac{3}{2}.$$
38. Chứng minh rằng với mọi số thực $a$ luôn tồn tại duy nhất một dãy gồm $2016$ số thực thỏa mãn ${{x}_{0}}={{x}_{2015}}=0$ và $${{x}_{i+1}}=2x_{i}^{3}+2{{x}_{i}}-{{x}_{i-1}}-2{{a}^{3}},\,\forall i\in [1;2014].$$
39. Cho hai dãy số $(a_{n})$, $(b_{n})$ với ${{a}_{i}},{{b}_{i}}\in \{1,2,...,n\}.$ Chứng minh tồn tại hai dãy con các số hạng kề nhau có tổng bằng nhau.
40. Cho dãy số thực $(a_{n})$ thỏa mãn $${{a}_{n+1}}=\left[ {{a}_{n}} \right].\left\{ {{a}_{n}} \right\},\,\forall n\in\mathbb N.$$ Chứng minh rằng tồn tại $N$ sao cho ${{a}_{i+2}}={{a}_{i}}$ với mọi $i\ge N$.