[Đáp Án] Đề Thi Chọn Đội Tuyển Tỉnh Lâm Đồng Dự Thi Học Sinh Giỏi Quốc Gia THPT 2010-2011

1. Giải phương trình $$\sqrt[3]{x+6}+{{x}^{2}}=7-\sqrt{x-1}.$$
2. Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng $$\frac{{{a}^{2}}}{b}+\frac{{{b}^{2}}}{c}+\frac{{{c}^{2}}}{a}\ge \sqrt{{{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}}}+\sqrt{{{b}^{2}}-bc+{{c}^{2}}}+\sqrt{{{c}^{2}}-ac+{{a}^{2}}}.$$
3. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn $$f\left( {{\left( x-y \right)}^{2}} \right)={{x}^{2}}-2y.f\left( x \right)+{{\left( f\left( y \right) \right)}^{2}},\quad \forall x,\,y\in \mathbb{R}.$$
4. Cho tam giác $BCD$ nội tiếp đường tròn tâm $O$. Gọi $A$ là điểm sao cho $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $d$ là đường phân giác trong của góc $\widehat{BAD}$, $d$ cắt đường thẳng $DC$ tại $F$ và cắt đường thẳng $BC$ tại $G$. Gọi $\Delta$ là đường thẳng qua $C$ và vuông góc với $d$, $\Delta$ cắt đường tròn tâm $O$ tại điểm thứ hai là $E$. Gọi $I$, $J$, $K$ lần lượt là hình chiếu của $E$ lên các đường thẳng $CB$, $CD$, $BD$.
   a) Chứng minh ba điểm $I$, $J$, $K$ thẳng hàng.
   b) Chứng minh $E$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $CFG$.
5. Giải phương trình nghiệm nguyên $${{x}^{3}}-{{y}^{3}}=xy+8.$$
6. Giải hệ phương trình $$\begin{cases} 4x^2+y^4-4xy^3&=0 \\ 4x^2+2y^2-4xy&=1 \end{cases}.$$
7. Cho dãy số $({u}_{n})$ xác định như sau $${u}_{1}=2,\quad {u}_{n+1}=\frac{u_{n}^{2}}{2011}+\frac{2010}{2011}{{u}_{n}},\,\forall n\in\mathbb N^*.$$ a) Chứng minh $({u}_{n})$ là  dãy số tăng và không bị chặn trên.
   b) Tính $\displaystyle\lim_{n\to +\infty }\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{{{u}_{i}}}{{{u}_{i+1}}-1}}$.
8. a) Từ  đỉnh $A$ của hình vuông $ABCD$, ta vẽ hai tia $Ax$, $Ay$ đi qua miền trong của hình vuông đó. Gọi $M$, $K$ lần lượt là hình chiếu của các điểm $D$, $B$ lên $Ax$. Gọi $N$, $L$ lần lượt là  hình chiếu của các điểm $D$, $B$ lên $Ay$. Chứng minh rằng các đường thẳng $KL$, $MN$ vuông góc với nhau.
   b) Cho tam giác $ABC$ nhọn, với $BC=a$, $CA=b$, $AB=c$. Hãy tìm điểm $M$ bên trong  tam giác $ABC$ sao cho $a.MA+b.MB+c.MC$ đạt giá trị nhỏ nhất.
9. Cho $x,y,z$ là các số nguyên. Chứng minh rằng $x+y+z$ chia hết cho $30$ khi và chỉ khi ${{x}^{5}}+{{y}^{5}}+{{z}^{5}}$ chia hết cho $30$.
10. Từ các chữ số $1, 2, 3$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm $6$ chữ số thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau
    • Trong mỗi số tự nhiên, mỗi chữ số có mặt đúng hai lần,
    • Trong mỗi số tự nhiên, hai chữ số giống nhau không đứng cạnh nhau.