Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Lớp 12 Tỉnh Nam Định 2011-2012

1. Cho hàm số $y = {x^4} - 8{m^2}{x^2} - 2$, $m$ là tham số.
   a) Khi $m=1$, gọi $\left( C \right)$ là đồ thị của hàm số. Hãy viết phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$, biết tiếp tuyến cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $3$.
   b) Tìm $m$ để đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác có một góc bằng ${120^0}$.
2. a) Giải phương trình $$\dfrac{{\sin x - \sin 2x}}{{2\sqrt 3 \cos x - 2\sin 3x - \sqrt 3 }} = \dfrac{1}{2}.$$ b) Giải hệ phương trình $$\begin{cases}\dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{{xy}} + \dfrac{2}{{x + y}} &= \dfrac{1}{{xy}}\\ {x^2} + {y^2} - \dfrac{1}{{x + y}} &= - {x^2} + 2x + 1 \end{cases}.$$
3. a) Trong mặt phẳng hệ tọa độ $Oxy$ cho đường thẳng $d:3x + 4y - 5 = 0$ và đường tròn $\left( T \right):{x^2} + {y^2} - 2x - y - 5 = 0$. Chứng minh rằng $d$ cắt $(T)$ tại hai điểm phân biệt $B,C$. Tìm trên $(T)$ điểm $A$ có hoành độ âm sao cho tam giác $ABC$ có bán kính đường tròn nội tiếp $r=1$.
   b) Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho điểm $M\left( {1;3;0} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x + y + z + 2 = 0$, tam giác $ABC$ nằm trong mặt phẳng $(P)$ có $A\left( { - 1; - 1;0} \right)$. Gọi $H$ là chân đường cao hạ từ đỉnh $A$ của tam giác $ABC$. Tìm tọa độ điểm $H$, biết $AH = \sqrt 2 $ và $BC \bot AM$.
4. Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB = a$, $B'C' = a\sqrt 5 $, các đường thẳng $A'B$ và $B'C$ cùng tạo với mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ một góc ${45^0}$, tam giác $A'AB$ vuông tại $B$, tam giác $A'CD$ vuông tại $D$.
   a) Tính thể tích của khối hộp $ABCD.A'B'C'D'$ theo $a$.
   b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AA'$ và $BD$ theo $a$.
5. Tính các tích phân $$I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{x + \sin 2x}}{{1 + \sin x}}} {\rm d}x,\quad J = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {2 + {{\tan }^2}x} \right)\ln \left( {1 + \tan x} \right){\rm d}x} $$
6. Giả sử $x,y,z$ là các số dương thỏa mãn $x+y+z=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$P = 2\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right) - {x^2} - {y^2} - {z^2} + 2xyz + 3$$