$hide=mobile

Mô Hình Hóa Toán Học: Bài Toán Thiết Kế Lon Bia Cho Công Ty Bia

Để giúp các bạn hiểu rõ hơn về khái niệm Mô hình hóa toán học cũng như các vấn đề liên quan thì hôm nay chúng ta cùng đi nghiên cứu, xem xét, áp dụng mô hình hóa toán học vào giải quyết tình huống mô hình hóa Thiết kế lon bia cho công ty bia Sài Gòn.

Vấn đề thực tế.

Công ty Bia Sài Gòn đặt hàng bạn đánh giá việc đóng hàng hiện tại của họ. Đặc biệt bạn được yêu cầu thẩm định lon Bia Sài Gòn và xác định xem các kích cỡ của lon như thế nào để lượng nhôm tiêu tốn cho mỗi lon ít nhất nhưng vẫn đảm bảo thể tích của mỗi lon là $330 ml$ ($1ml = 1cm^3$).

Báo cáo gởi về Công ty Bia Sài Gòn nên bao gồm:
  1. Các kích cỡ bạn đề nghị cho lượng nhôm ít nhất;
  2. Lời giải thích hay việc tính toán của bạn ủng hộ cho các kích cỡ đề nghị đó;
  3. Sự so sánh giữa kích cỡ thật và kích cỡ đề nghị; một sự bàn luận về các kích cỡ này.
Kiến thức, kỹ năng cần sử dụng:
  1. Công thức tính thể tích vật thể và diện tích các bề mặt, đặc biệt thể tích khối trụ và diện tích của mặt trụ.
  2. Ứng dụng đạo hàm hoặc bất đẳng thức Cauchy để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số; kỹ năng đọc đồ thị để định hướng việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất bằng cách khảo sát hàm số một cách rời rạc với công cụ bảng tính của Excel.
Lớp học đề nghị: 9, 10, 11, 12.

Lời giải tham khảo

Bước 1. Xây dựng mô hình thực tế: Vấn đề đặt ra là thiết kế lon có thể tích $330 ml$ nhưng sử dụng lượng nhôm ít nhất cho mỗi lon.

Các thuật ngữ, số liệu chính: lon, kích cỡ, lượng nhôm ít nhất, thể tích $330 ml$.

Những biến số liên quan và những kết quả khi xem xét các giả thiết:
  1. Hình dạng, kích cỡ của lon phụ thuộc vào việc lựa chọn mô hình thường được sử dụng với các biến số tương ứng;
  2. Lượng nhôm tương ứng với bề mặt của lon được thiết kế phụ thuộc vào diện tích của bề mặt đó;
  3. Thể tích của lon được thiết kế phụ thuộc vào việc chọn hình dạng và các kích cỡ ở trên.
Bước 2. Xây dựng mô hình toán học: Người ta thường sử dụng hình trụ để thiết kế lon, vì vậy ở đây ta sử dụng hình trụ làm mô hình cho việc giải quyết bài toán này. Lúc đó ta phải tìm bán kính của đáy lon và chiều cao của lon để trả lời câu hỏi đặt ra. Vấn đề được chuyển về “tìm bán kính và chiều cao của hình trụ để diện tích toàn phần nhỏ nhất biết thể tích hình trụ là $330 ml$”.

Để thuận tiện trong việc tính toán sau này, ta lấy đơn vị cm để tính bán kính và chiều cao của lon và làm tròn đến hàng phần chục.

Gọi $R$, $h$ lần lượt là bán kính đáy lon và chiều cao của lon $R, h >0$, lúc đó diện tích toàn phần của hình trụ được tính theo công thức $S=2\pi Rh+2\pi R^2$ và thể tích của lon được tính bằng $V = \pi R^2 h$. Mặt khác thể tích của lon là $330 ml$ nên ta có $V = \pi R^2 h =330$. Từ đó suy ra $h=\dfrac{330}{\pi R^2}$. Thay vào công thức diện tích ta được $$S=2\pi R \frac{330}{\pi R^2}+2\pi R^2 =\frac{660}{R}+2\pi R^2.$$ Bây giờ ta có bài toán:
Xác định $R, h$ để biểu thức $S$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Bước 3. Giải quyết vấn đề toán học: Với 3 số dương $a, b,c$, ta dễ dàng chứng minh được $$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac \geq 0$$ bằng cách áp dụng BĐT Cauchy lần lượt cho hai số dương. Mặt khác ta có đẳng thức quen thuộc $$a^3+b^3+c^3-3abc=(a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac).$$ Do đó $$a^3+b^3+c^3-3abc \geq 0.$$ Áp dụng điều chứng minh trên vào việc giải bài toán ở Bước 2 ta có $$S=\frac{660}{R}+2\pi R^2=\frac{330}{R}+\frac{330}{R}+2\pi R^2\geq 3\sqrt[3]{2\pi 330^2}.$$ dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi $\dfrac{330}{R}=2\pi R^2$, hay $R=\sqrt[3]{\dfrac{165}{R}}$

Ta suy ra được diện tích toàn phần của hình trụ đạt giá trị nhỏ nhất ứng với giá trị $R=\sqrt[3]{\dfrac{165}{R}}\simeq 3,7$, lúc đó chiều cao của lon là $h=\dfrac{330}{\pi R^2}\simeq 7,5$, ở đây chính xác ta có $h=2R$.

Như vậy nhà thiết kế nên sử dụng hình trụ với bán kính $3,7 (cm)$ và chiều cao $7.5 (cm)$ để tạo thành lon có thể tích $330 ml$ và lượng nhôm sử dụng là nhỏ nhất.

Tất nhiên ở đây ta có thể sử dụng những kiến thức về đạo hàm để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$S=\frac{660}{R}+2\pi R^2.$$
Bước 4. Thẩm định mô hình: Ta có thể sử dụng các hình dạng lon khác như hình lăng trụ… dĩ nhiên lúc đó cách thức giải quyết vấn đề sẽ tương ứng với mô hình lựa chọn.

Ngoài ra người học có thể dùng bảng tính trong Excel để giải quyết bài toán theo việc thử những giá trị khác nhau của bán kính hình trụ nếu chưa có kiến thức về đạo hàm. Tuy nhiên việc khó khăn nhất khi sử dụng cách này để tìm giá trị nhỏ nhất của $S$ là nên bắt đầu thử giá trị nào của $R$ . Việc này sẽ được khắc phục nếu người học sử dụng chức năng vẽ đồ thị của một số phần mềm (chẳng hạn GSP) để giới hạn khoảng giá trị của bán kính. Qua đồ thị đó, ta có thể giới hạn khoảng thử của bán kính và tăng dần bán kính theo từng $0.1$.

Với các kích cỡ đã lựa chọn ta có $h=2R$ (nếu tính chính xác). Trong trường hợp một khối trụ có thể tích bất kỳ cho trước, việc chọn bán kính và chiều cao như thế nào để có được hình trụ có diện tích toàn phần nhỏ nhất.

Bước 5. Báo cáo kết quả và giải thích cho lời giải. Ở bước này, sau khi đo kích cỡ thật của lon Bia Sài Gòn đang dùng hiện tại là $h =10,8 (cm)$ ta thấy giữa kích cỡ đề nghị và kích cỡ đang sử dụng khác nhau. Chúng ta có thể giải thích cho sự khác biệt này như sau: dạng lon đang thiết kế là truyền thống của các tập đoàn nước giải khát, có thể tập đoàn còn quan tâm đến yếu tố thẩm mỹ và kích cỡ hiện tại phù hợp với tay cầm của nhiều khách hàng trên toàn thế giới.

Post a Comment


$hide=home

$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0

$hide=post$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0

$hide=home

Kỷ Yếu$cl=violet$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0

Journals$cl=green$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0

Name

Ả-rập Xê-út,1,Abel,5,Albania,2,AMM,2,Amsterdam,5,Ấn Độ,1,An Giang,21,Andrew Wiles,1,Anh,2,Áo,1,APMO,19,Ba Đình,2,Ba Lan,1,Bà Rịa Vũng Tàu,51,Bắc Giang,49,Bắc Kạn,1,Bạc Liêu,9,Bắc Ninh,46,Bắc Trung Bộ,7,Bài Toán Hay,5,Balkan,37,Baltic Way,30,BAMO,1,Bất Đẳng Thức,66,Bến Tre,46,Benelux,13,Bình Định,43,Bình Dương,21,Bình Phước,38,Bình Thuận,34,Birch,1,Booklet,11,Bosnia Herzegovina,3,BoxMath,3,Brazil,2,Bùi Đắc Hiên,1,Bùi Thị Thiện Mỹ,1,Bùi Văn Tuyên,1,Bùi Xuân Diệu,1,Bulgaria,5,Buôn Ma Thuột,1,BxMO,12,Cà Mau,13,Cần Thơ,14,Canada,39,Cao Bằng,6,Cao Quang Minh,1,Câu Chuyện Toán Học,36,Caucasus,2,CGMO,10,China,10,Chọn Đội Tuyển,347,Chu Tuấn Anh,1,Chuyên Đề,124,Chuyên Sư Phạm,31,Chuyên Trần Hưng Đạo,3,Collection,8,College Mathematic,1,Concours,1,Cono Sur,1,Contest,610,Correspondence,1,Cosmin Poahata,1,Crux,2,Czech-Polish-Slovak,25,Đà Nẵng,38,Đa Thức,2,Đại Số,20,Đắk Lắk,54,Đắk Nông,7,Đan Phượng,1,Danube,7,Đào Thái Hiệp,1,ĐBSCL,2,Đề Thi HSG,1632,Đề Thi JMO,1,Điện Biên,8,Định Lý,1,Định Lý Beaty,1,Đỗ Hữu Đức Thịnh,1,Do Thái,3,Doãn Quang Tiến,4,Đoàn Quỳnh,1,Đoàn Văn Trung,1,Đống Đa,4,Đồng Nai,49,Đồng Tháp,51,Du Hiền Vinh,1,Đức,1,Duyên Hải Bắc Bộ,25,E-Book,33,EGMO,16,ELMO,19,EMC,8,Epsilon,1,Estonian,5,Euler,1,Evan Chen,1,Fermat,3,Finland,4,Forum Of Geometry,2,Furstenberg,1,G. Polya,3,Gặp Gỡ Toán Học,26,Gauss,1,GDTX,3,Geometry,12,Gia Lai,25,Gia Viễn,2,Giải Tích Hàm,1,Giảng Võ,1,Giới hạn,2,Goldbach,1,Hà Giang,2,Hà Lan,1,Hà Nam,28,Hà Nội,231,Hà Tĩnh,72,Hà Trung Kiên,1,Hải Dương,49,Hải Phòng,42,Hàn Quốc,5,Hậu Giang,4,Hậu Lộc,1,Hilbert,1,Hình Học,33,HKUST,7,Hòa Bình,13,Hoài Nhơn,1,Hoàng Bá Minh,1,Hoàng Minh Quân,1,Hodge,1,Hojoo Lee,2,HOMC,5,HongKong,8,HSG 10,100,HSG 11,84,HSG 12,580,HSG 9,398,HSG Cấp Trường,78,HSG Quốc Gia,98,HSG Quốc Tế,16,Hứa Lâm Phong,1,Hứa Thuần Phỏng,1,Hùng Vương,2,Hưng Yên,31,Hương Sơn,2,Huỳnh Kim Linh,1,Hy Lạp,1,IMC,25,IMO,54,India,45,Inequality,13,InMC,1,International,307,Iran,11,Jakob,1,JBMO,41,Jewish,1,Journal,20,Junior,38,K2pi,1,Kazakhstan,1,Khánh Hòa,16,KHTN,53,Kiên Giang,63,Kim Liên,1,Kon Tum,18,Korea,5,Kvant,2,Kỷ Yếu,42,Lai Châu,4,Lâm Đồng,33,Lạng Sơn,21,Langlands,1,Lào Cai,16,Lê Hải Châu,1,Lê Hải Khôi,1,Lê Hoành Phò,4,Lê Khánh Sỹ,3,Lê Minh Cường,1,Lê Phúc Lữ,1,Lê Phương,1,Lê Quý Đôn,1,Lê Viết Hải,1,Lê Việt Hưng,1,Leibniz,1,Long An,42,Lớp 10,10,Lớp 10 Chuyên,452,Lớp 10 Không Chuyên,229,Lớp 11,1,Lục Ngạn,1,Lượng giác,1,Lương Tài,1,Lưu Giang Nam,2,Lý Thánh Tông,1,Macedonian,1,Malaysia,1,Margulis,2,Mark Levi,1,Mathematical Excalibur,1,Mathematical Reflections,1,Mathematics Magazine,1,Mathematics Today,1,Mathley,1,MathLinks,1,MathProblems Journal,1,Mathscope,8,MathsVN,5,MathVN,1,MEMO,10,Metropolises,4,Mexico,1,MIC,1,Michael Guillen,1,Mochizuki,1,Moldova,1,Moscow,1,Mỹ,9,MYTS,4,Nam Định,32,Nam Phi,1,Nam Trung Bộ,1,National,249,Nesbitt,1,Newton,4,Nghệ An,50,Ngô Bảo Châu,2,Ngô Việt Hải,1,Ngọc Huyền,2,Nguyễn Anh Tuyến,1,Nguyễn Bá Đang,1,Nguyễn Đình Thi,1,Nguyễn Đức Tấn,1,Nguyễn Đức Thắng,1,Nguyễn Duy Khương,1,Nguyễn Duy Tùng,1,Nguyễn Hữu Điển,3,Nguyễn Mình Hà,1,Nguyễn Minh Tuấn,8,Nguyễn Phan Tài Vương,1,Nguyễn Phú Khánh,1,Nguyễn Phúc Tăng,1,Nguyễn Quản Bá Hồng,1,Nguyễn Quang Sơn,1,Nguyễn Tài Chung,5,Nguyễn Tăng Vũ,1,Nguyễn Tất Thu,1,Nguyễn Thúc Vũ Hoàng,1,Nguyễn Trung Tuấn,8,Nguyễn Tuấn Anh,2,Nguyễn Văn Huyện,3,Nguyễn Văn Mậu,25,Nguyễn Văn Nho,1,Nguyễn Văn Quý,2,Nguyễn Văn Thông,1,Nguyễn Việt Anh,1,Nguyễn Vũ Lương,2,Nhật Bản,3,Nhóm $\LaTeX$,4,Nhóm Toán,1,Ninh Bình,41,Ninh Thuận,15,Nội Suy Lagrange,2,Nội Suy Newton,1,Nordic,19,Olympiad Corner,1,Olympiad Preliminary,2,Olympic 10,96,Olympic 10/3,5,Olympic 11,88,Olympic 12,30,Olympic 24/3,6,Olympic 27/4,19,Olympic 30/4,64,Olympic KHTN,6,Olympic Sinh Viên,73,Olympic Tháng 4,10,Olympic Toán,297,Olympic Toán Sơ Cấp,3,PAMO,1,Phạm Đình Đồng,1,Phạm Đức Tài,1,Phạm Huy Hoàng,1,Pham Kim Hung,3,Phạm Quốc Sang,2,Phan Huy Khải,1,Phan Thành Nam,1,Pháp,2,Philippines,8,Phú Thọ,30,Phú Yên,26,Phùng Hồ Hải,1,Phương Trình Hàm,11,Phương Trình Pythagoras,1,Pi,1,Polish,32,Problems,1,PT-HPT,14,PTNK,44,Putnam,25,Quảng Bình,44,Quảng Nam,31,Quảng Ngãi,33,Quảng Ninh,43,Quảng Trị,26,Quỹ Tích,1,Riemann,1,RMM,12,RMO,24,Romania,36,Romanian Mathematical,1,Russia,1,Sách Thường Thức Toán,7,Sách Toán,69,Sách Toán Cao Học,1,Sách Toán THCS,7,Saudi Arabia,7,Scholze,1,Serbia,17,Sharygin,24,Shortlists,56,Simon Singh,1,Singapore,1,Số Học - Tổ Hợp,27,Sóc Trăng,28,Sơn La,11,Spain,8,Star Education,5,Stars of Mathematics,11,Swinnerton-Dyer,1,Talent Search,1,Tăng Hải Tuân,2,Tạp Chí,14,Tập San,6,Tây Ban Nha,1,Tây Ninh,29,Thạch Hà,1,Thái Bình,39,Thái Nguyên,49,Thái Vân,2,Thanh Hóa,57,THCS,2,Thổ Nhĩ Kỳ,5,Thomas J. Mildorf,1,THPT Chuyên Lê Quý Đôn,1,THPTQG,15,THTT,6,Thừa Thiên Huế,35,Tiền Giang,19,Tin Tức Toán Học,1,Titu Andreescu,2,Toán 12,7,Toán Cao Cấp,3,Toán Chuyên,2,Toán Rời Rạc,5,Toán Tuổi Thơ,3,Tôn Ngọc Minh Quân,2,TOT,1,TPHCM,123,Trà Vinh,5,Trắc Nghiệm,1,Trắc Nghiệm Toán,2,Trại Hè,34,Trại Hè Hùng Vương,25,Trại Hè Phương Nam,5,Trần Đăng Phúc,1,Trần Minh Hiền,2,Trần Nam Dũng,9,Trần Phương,1,Trần Quang Hùng,1,Trần Quốc Anh,2,Trần Quốc Luật,1,Trần Quốc Nghĩa,1,Trần Tiến Tự,1,Trịnh Đào Chiến,2,Trung Quốc,12,Trường Đông,19,Trường Hè,7,Trường Thu,1,Trường Xuân,2,TST,55,Tuyên Quang,6,Tuyển Sinh,3,Tuyển Tập,44,Tuymaada,4,Undergraduate,66,USA,44,USAJMO,10,USATST,7,Uzbekistan,1,Vasile Cîrtoaje,4,Vật Lý,1,Viện Toán Học,2,Vietnam,4,Viktor Prasolov,1,VIMF,1,Vinh,27,Vĩnh Long,19,Vĩnh Phúc,63,Virginia Tech,1,VLTT,1,VMEO,4,VMF,12,VMO,46,VNTST,21,Võ Anh Khoa,1,Võ Quốc Bá Cẩn,26,Võ Thành Văn,1,Vojtěch Jarník,6,Vũ Hữu Bình,7,Vương Trung Dũng,1,WFNMC Journal,1,Wiles,1,Yên Bái,17,Yên Định,1,Yên Thành,1,Zhautykov,11,Zhou Yuan Zhe,1,
ltr
item
MOlympiad: Mô Hình Hóa Toán Học: Bài Toán Thiết Kế Lon Bia Cho Công Ty Bia
Mô Hình Hóa Toán Học: Bài Toán Thiết Kế Lon Bia Cho Công Ty Bia
MOlympiad
https://www.molympiad.net/2017/11/mo-hinh-hoa-toan-hoc-bai-toan-thiet-ke-lon-bia.html
https://www.molympiad.net/
https://www.molympiad.net/
https://www.molympiad.net/2017/11/mo-hinh-hoa-toan-hoc-bai-toan-thiet-ke-lon-bia.html
true
2506595080985176441
UTF-8
Loaded All Posts Not found any posts VIEW ALL Readmore Reply Cancel reply Delete By Home PAGES POSTS View All RECOMMENDED FOR YOU LABEL ARCHIVE SEARCH ALL POSTS Not found any post match with your request Back Home Sunday Monday Tuesday Wednesday Thursday Friday Saturday Sun Mon Tue Wed Thu Fri Sat January February March April May June July August September October November December Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec just now 1 minute ago $$1$$ minutes ago 1 hour ago $$1$$ hours ago Yesterday $$1$$ days ago $$1$$ weeks ago more than 5 weeks ago Followers Follow THIS PREMIUM CONTENT IS LOCKED Please share to unlock Copy All Code Select All Code All codes were copied to your clipboard Can not copy the codes / texts, please press [CTRL]+[C] (or CMD+C with Mac) to copy