Mô Hình Hóa Toán Học: Bài Toán Thiết Kế Lon Bia Cho Công Ty Bia


Để giúp các bạn hiểu rõ hơn về khái niệm Mô hình hóa toán học cũng như các vấn đề liên quan thì hôm nay chúng ta cùng đi nghiên cứu, xem xét, áp dụng mô hình hóa toán học vào giải quyết tình huống mô hình hóa Thiết kế lon bia cho công ty bia Sài Gòn.

Vấn đề thực tế.

Công ty Bia Sài Gòn đặt hàng bạn đánh giá việc đóng hàng hiện tại của họ. Đặc biệt bạn được yêu cầu thẩm định lon Bia Sài Gòn và xác định xem các kích cỡ của lon như thế nào để lượng nhôm tiêu tốn cho mỗi lon ít nhất nhưng vẫn đảm bảo thể tích của mỗi lon là $330 ml$ ($1ml = 1cm^3$).

Báo cáo gởi về Công ty Bia Sài Gòn nên bao gồm:
  1. Các kích cỡ bạn đề nghị cho lượng nhôm ít nhất;
  2. Lời giải thích hay việc tính toán của bạn ủng hộ cho các kích cỡ đề nghị đó;
  3. Sự so sánh giữa kích cỡ thật và kích cỡ đề nghị; một sự bàn luận về các kích cỡ này.
Kiến thức, kỹ năng cần sử dụng:
  1. Công thức tính thể tích vật thể và diện tích các bề mặt, đặc biệt thể tích khối trụ và diện tích của mặt trụ.
  2. Ứng dụng đạo hàm hoặc bất đẳng thức Cauchy để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số; kỹ năng đọc đồ thị để định hướng việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất bằng cách khảo sát hàm số một cách rời rạc với công cụ bảng tính của Excel.
Lớp học đề nghị: 9, 10, 11, 12.

Lời giải tham khảo

Bước 1. Xây dựng mô hình thực tế: Vấn đề đặt ra là thiết kế lon có thể tích $330 ml$ nhưng sử dụng lượng nhôm ít nhất cho mỗi lon.

Các thuật ngữ, số liệu chính: lon, kích cỡ, lượng nhôm ít nhất, thể tích $330 ml$.

Những biến số liên quan và những kết quả khi xem xét các giả thiết:
  1. Hình dạng, kích cỡ của lon phụ thuộc vào việc lựa chọn mô hình thường được sử dụng với các biến số tương ứng;
  2. Lượng nhôm tương ứng với bề mặt của lon được thiết kế phụ thuộc vào diện tích của bề mặt đó;
  3. Thể tích của lon được thiết kế phụ thuộc vào việc chọn hình dạng và các kích cỡ ở trên.
Bước 2. Xây dựng mô hình toán học: Người ta thường sử dụng hình trụ để thiết kế lon, vì vậy ở đây ta sử dụng hình trụ làm mô hình cho việc giải quyết bài toán này. Lúc đó ta phải tìm bán kính của đáy lon và chiều cao của lon để trả lời câu hỏi đặt ra. Vấn đề được chuyển về “tìm bán kính và chiều cao của hình trụ để diện tích toàn phần nhỏ nhất biết thể tích hình trụ là $330 ml$”.

Để thuận tiện trong việc tính toán sau này, ta lấy đơn vị cm để tính bán kính và chiều cao của lon và làm tròn đến hàng phần chục.

Gọi $R$, $h$ lần lượt là bán kính đáy lon và chiều cao của lon $R, h >0$, lúc đó diện tích toàn phần của hình trụ được tính theo công thức $S=2\pi Rh+2\pi R^2$ và thể tích của lon được tính bằng $V = \pi R^2 h$. Mặt khác thể tích của lon là $330 ml$ nên ta có $V = \pi R^2 h =330$. Từ đó suy ra $h=\dfrac{330}{\pi R^2}$. Thay vào công thức diện tích ta được $$S=2\pi R \frac{330}{\pi R^2}+2\pi R^2 =\frac{660}{R}+2\pi R^2.$$ Bây giờ ta có bài toán:
Xác định $R, h$ để biểu thức $S$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Bước 3. Giải quyết vấn đề toán học: Với 3 số dương $a, b,c$, ta dễ dàng chứng minh được $$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac \geq 0$$ bằng cách áp dụng BĐT Cauchy lần lượt cho hai số dương. Mặt khác ta có đẳng thức quen thuộc $$a^3+b^3+c^3-3abc=(a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac).$$ Do đó $$a^3+b^3+c^3-3abc \geq 0.$$ Áp dụng điều chứng minh trên vào việc giải bài toán ở Bước 2 ta có $$S=\frac{660}{R}+2\pi R^2=\frac{330}{R}+\frac{330}{R}+2\pi R^2\geq 3\sqrt[3]{2\pi 330^2}.$$ dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi $\dfrac{330}{R}=2\pi R^2$, hay $R=\sqrt[3]{\dfrac{165}{R}}$

Ta suy ra được diện tích toàn phần của hình trụ đạt giá trị nhỏ nhất ứng với giá trị $R=\sqrt[3]{\dfrac{165}{R}}\simeq 3,7$, lúc đó chiều cao của lon là $h=\dfrac{330}{\pi R^2}\simeq 7,5$, ở đây chính xác ta có $h=2R$.

Như vậy nhà thiết kế nên sử dụng hình trụ với bán kính $3,7 (cm)$ và chiều cao $7.5 (cm)$ để tạo thành lon có thể tích $330 ml$ và lượng nhôm sử dụng là nhỏ nhất.

Tất nhiên ở đây ta có thể sử dụng những kiến thức về đạo hàm để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$S=\frac{660}{R}+2\pi R^2.$$
Bước 4. Thẩm định mô hình: Ta có thể sử dụng các hình dạng lon khác như hình lăng trụ… dĩ nhiên lúc đó cách thức giải quyết vấn đề sẽ tương ứng với mô hình lựa chọn.

Ngoài ra người học có thể dùng bảng tính trong Excel để giải quyết bài toán theo việc thử những giá trị khác nhau của bán kính hình trụ nếu chưa có kiến thức về đạo hàm. Tuy nhiên việc khó khăn nhất khi sử dụng cách này để tìm giá trị nhỏ nhất của $S$ là nên bắt đầu thử giá trị nào của $R$ . Việc này sẽ được khắc phục nếu người học sử dụng chức năng vẽ đồ thị của một số phần mềm (chẳng hạn GSP) để giới hạn khoảng giá trị của bán kính. Qua đồ thị đó, ta có thể giới hạn khoảng thử của bán kính và tăng dần bán kính theo từng $0.1$.

Với các kích cỡ đã lựa chọn ta có $h=2R$ (nếu tính chính xác). Trong trường hợp một khối trụ có thể tích bất kỳ cho trước, việc chọn bán kính và chiều cao như thế nào để có được hình trụ có diện tích toàn phần nhỏ nhất.

Bước 5. Báo cáo kết quả và giải thích cho lời giải. Ở bước này, sau khi đo kích cỡ thật của lon Bia Sài Gòn đang dùng hiện tại là $h =10,8 (cm)$ ta thấy giữa kích cỡ đề nghị và kích cỡ đang sử dụng khác nhau. Chúng ta có thể giải thích cho sự khác biệt này như sau: dạng lon đang thiết kế là truyền thống của các tập đoàn nước giải khát, có thể tập đoàn còn quan tâm đến yếu tố thẩm mỹ và kích cỡ hiện tại phù hợp với tay cầm của nhiều khách hàng trên toàn thế giới.
MOlympiad.NET là dự án thu thập và phát hành các đề thi tuyển sinh và học sinh giỏi toán. Quý bạn đọc muốn giúp chúng tôi chỉnh sửa đề thi này, xin hãy để lại bình luận facebook (có thể đính kèm hình ảnh) hoặc google (có thể sử dụng $\LaTeX$) bên dưới. BBT rất mong bạn đọc ủng hộ UPLOAD đề thi và đáp án mới hoặc liên hệ
Chúng tôi nhận tất cả các định dạng của tài liệu: $\TeX$, PDF, WORD, IMG,...



Name

Abel Albania AMM Amsterdam An Giang Andrew Wiles Anh APMO Austria (Áo) Ba Đình Ba Lan Bà Rịa Vũng Tàu Bắc Bộ Bắc Giang Bắc Kạn Bạc Liêu Bắc Ninh Bắc Trung Bộ Bài Toán Hay Balkan Baltic Way BAMO Bất Đẳng Thức Bến Tre Benelux Bình Định Bình Dương Bình Phước Bình Thuận Birch BMO Booklet Bosnia Herzegovina BoxMath Brazil British Bùi Đắc Hiên Bùi Thị Thiện Mỹ Bùi Văn Tuyên Bùi Xuân Diệu Bulgaria Buôn Ma Thuột BxMO Cà Mau Cần Thơ Canada Cao Bằng Cao Quang Minh Câu Chuyện Toán Học Caucasus CGMO China - Trung Quốc Chọn Đội Tuyển Chu Tuấn Anh Chuyên Đề Chuyên Sư Phạm Chuyên Trần Hưng Đạo Collection College Mathematic Concours Cono Sur Contest Correspondence Cosmin Poahata Crux Czech-Polish-Slovak Đà Nẵng Đa Thức Đại Số Đắk Lắk Đắk Nông Đan Phượng Danube Đào Thái Hiệp ĐBSCL Đề Thi Đề Thi HSG Đề Thi JMO Điện Biên Định Lý Định Lý Beaty Đỗ Hữu Đức Thịnh Do Thái Doãn Quang Tiến Đoàn Quỳnh Đoàn Văn Trung Đống Đa Đồng Nai Đồng Tháp Du Hiền Vinh Đức Duyên Hải Bắc Bộ E-Book EGMO ELMO EMC Epsilon Estonian Euler Evan Chen Fermat Finland Forum Of Geometry Furstenberg G. Polya Gặp Gỡ Toán Học Gauss GDTX Geometry Gia Lai Gia Viễn Giải Tích Hàm Giảng Võ Giới hạn Goldbach Hà Giang Hà Lan Hà Nam Hà Nội Hà Tĩnh Hà Trung Kiên Hải Dương Hải Phòng Hậu Giang Hậu Lộc Hilbert Hình Học HKUST Hòa Bình Hoài Nhơn Hoàng Bá Minh Hoàng Minh Quân Hodge Hojoo Lee HOMC HongKong HSG 10 HSG 10 Bắc Giang HSG 10 Thái Nguyên HSG 11 HSG 11 Bắc Giang HSG 11 Lạng Sơn HSG 11 Thái Nguyên HSG 12 HSG 12 2010-2011 HSG 12 2011-2012 HSG 12 2012-2013 HSG 12 2013-2014 HSG 12 2014-2015 HSG 12 2015-2016 HSG 12 2016-2017 HSG 12 2017-2018 HSG 12 2018-2019 HSG 12 2019-2020 HSG 12 2020-2021 HSG 12 2021-2022 HSG 12 Bắc Giang HSG 12 Bình Phước HSG 12 Đồng Tháp HSG 12 Lạng Sơn HSG 12 Long An HSG 12 Quảng Nam HSG 12 Quảng Ninh HSG 12 Thái Nguyên HSG 9 HSG 9 2010-2011 HSG 9 2011-2012 HSG 9 2012-2013 HSG 9 2013-2014 HSG 9 2014-2015 HSG 9 2015-2016 HSG 9 2016-2017 HSG 9 2017-2018 HSG 9 2018-2019 HSG 9 2019-2020 HSG 9 2020-2021 HSG 9 2021-202 HSG 9 2021-2022 HSG 9 Bắc Giang HSG 9 Bình Phước HSG 9 Đồng Tháp HSG 9 Lạng Sơn HSG 9 Long An HSG 9 Quảng Nam HSG 9 Quảng Ninh HSG Cấp Trường HSG Quốc Gia HSG Quốc Tế Hứa Lâm Phong Hứa Thuần Phỏng Hùng Vương Hưng Yên Hương Sơn Huỳnh Kim Linh Hy Lạp IMC IMO IMT India - Ấn Độ Inequality InMC International Iran Jakob JBMO Jewish Journal Junior K2pi Kazakhstan Khánh Hòa KHTN Kiên Giang Kim Liên Kon Tum Korea - Hàn Quốc Kvant Kỷ Yếu Lai Châu Lâm Đồng Lạng Sơn Langlands Lào Cai Lê Hải Châu Lê Hải Khôi Lê Hoành Phò Lê Khánh Sỹ Lê Minh Cường Lê Phúc Lữ Lê Phương Lê Quý Đôn Lê Viết Hải Lê Việt Hưng Leibniz Long An Lớp 10 Lớp 10 Chuyên Lớp 10 Không Chuyên Lớp 11 Lục Ngạn Lượng giác Lương Tài Lưu Giang Nam Lý Thánh Tông Macedonian Malaysia Margulis Mark Levi Mathematical Excalibur Mathematical Reflections Mathematics Magazine Mathematics Today Mathley MathLinks MathProblems Journal Mathscope MathsVN MathVN MEMO Metropolises Mexico MIC Michael Guillen Mochizuki Moldova Moscow MYM MYTS Nam Định Nam Phi National Nesbitt Newton Nghệ An Ngô Bảo Châu Ngô Việt Hải Ngọc Huyền Nguyễn Anh Tuyến Nguyễn Bá Đang Nguyễn Đình Thi Nguyễn Đức Tấn Nguyễn Đức Thắng Nguyễn Duy Khương Nguyễn Duy Tùng Nguyễn Hữu Điển Nguyễn Mình Hà Nguyễn Minh Tuấn Nguyễn Phan Tài Vương Nguyễn Phú Khánh Nguyễn Phúc Tăng Nguyễn Quản Bá Hồng Nguyễn Quang Sơn Nguyễn Tài Chung Nguyễn Tăng Vũ Nguyễn Tất Thu Nguyễn Thúc Vũ Hoàng Nguyễn Trung Tuấn Nguyễn Tuấn Anh Nguyễn Văn Huyện Nguyễn Văn Mậu Nguyễn Văn Nho Nguyễn Văn Quý Nguyễn Văn Thông Nguyễn Việt Anh Nguyễn Vũ Lương Nhật Bản Nhóm $\LaTeX$ Nhóm Toán Ninh Bình Ninh Thuận Nội Suy Lagrange Nội Suy Newton Nordic Olympiad Corner Olympiad Preliminary Olympic 10 Olympic 10/3 Olympic 11 Olympic 12 Olympic 24/3 Olympic 24/3 Quảng Nam Olympic 27/4 Olympic 30/4 Olympic KHTN Olympic Sinh Viên Olympic Tháng 4 Olympic Toán Olympic Toán Sơ Cấp PAMO Phạm Đình Đồng Phạm Đức Tài Phạm Huy Hoàng Pham Kim Hung Phạm Quốc Sang Phan Huy Khải Phan Thành Nam Pháp Philippines Phú Thọ Phú Yên Phùng Hồ Hải Phương Trình Hàm Phương Trình Pythagoras Pi Polish Problems PT-HPT PTNK Putnam Quảng Bình Quảng Nam Quảng Ngãi Quảng Ninh Quảng Trị Quỹ Tích Riemann RMM RMO Romania Romanian Mathematical Russia Sách Thường Thức Toán Sách Toán Sách Toán Cao Học Sách Toán THCS Saudi Arabia - Ả Rập Xê Út Scholze Serbia Sharygin Shortlists Simon Singh Singapore Số Học - Tổ Hợp Sóc Trăng Sơn La Spain Star Education Stars of Mathematics Swinnerton-Dyer Talent Search Tăng Hải Tuân Tạp Chí Tập San Tây Ban Nha Tây Ninh Thạch Hà Thái Bình Thái Nguyên Thái Vân Thanh Hóa THCS Thổ Nhĩ Kỳ Thomas J. Mildorf THPT Chuyên Lê Quý Đôn THPTQG THTT Thừa Thiên Huế Tiền Giang Tin Tức Toán Học Titu Andreescu Toán 12 Toán Cao Cấp Toán Chuyên Toán Rời Rạc Toán Tuổi Thơ Tôn Ngọc Minh Quân TOT TPHCM Trà Vinh Trắc Nghiệm Trắc Nghiệm Toán Trại Hè Trại Hè Hùng Vương Trại Hè Phương Nam Trần Đăng Phúc Trần Minh Hiền Trần Nam Dũng Trần Phương Trần Quang Hùng Trần Quốc Anh Trần Quốc Luật Trần Quốc Nghĩa Trần Tiến Tự Trịnh Đào Chiến Trường Đông Trường Hè Trường Thu Trường Xuân TST TST 2010-2011 TST 2011-2012 TST 2012-2013 TST 2013-2014 TST 2014-2015 TST 2015-2016 TST 2016-2017 TST 2017-2018 TST 2018-2019 TST 2019-2020 TST 2020-2021 TST 2021-2022 TST Bắc Giang TST Bình Phước TST Đồng Tháp TST Lạng Sơn TST Long An TST Quảng Nam TST Quảng Ninh TST Thái Nguyên Tuyên Quang Tuyển Sinh Tuyển Sinh 10 Tuyển Sinh 10 Bắc Giang Tuyển Sinh 10 Bình Phước Tuyển Sinh 10 Đồng Tháp Tuyển Sinh 10 Lạng Sơn Tuyển Sinh 10 Long An Tuyển Sinh 10 Quảng Nam Tuyển Sinh 10 Quảng Ninh Tuyển Sinh 10 Thái Nguyên Tuyển Sinh 2010-2011 Tuyển Sinh 2011-2012 Tuyển Sinh 2011-2022 Tuyển Sinh 2012-2013 Tuyển Sinh 2013-2014 Tuyển Sinh 2014-2015 Tuyển Sinh 2015-2016 Tuyển Sinh 2016-2017 Tuyển Sinh 2017-2018 Tuyển Sinh 2018-2019 Tuyển Sinh 2019-2020 Tuyển Sinh 2020-2021 Tuyển Sinh 2021-202 Tuyển Sinh 2021-2022 Tuyển Tập Tuymaada UK - Anh Undergraduate USA - Mỹ USA TSTST USAJMO USATST USEMO Uzbekistan Vasile Cîrtoaje Vật Lý Viện Toán Học Vietnam Viktor Prasolov VIMF Vinh Vĩnh Long Vĩnh Phúc Virginia Tech VLTT VMEO VMF VMO VNTST Võ Anh Khoa Võ Quốc Bá Cẩn Võ Thành Văn Vojtěch Jarník Vũ Hữu Bình Vương Trung Dũng WFNMC Journal Wiles Yên Bái Yên Định Yên Thành Zhautykov Zhou Yuan Zhe
false
ltr
item
MOlympiad.NET: Mô Hình Hóa Toán Học: Bài Toán Thiết Kế Lon Bia Cho Công Ty Bia
Mô Hình Hóa Toán Học: Bài Toán Thiết Kế Lon Bia Cho Công Ty Bia
MOlympiad.NET
https://www.molympiad.net/2017/11/mo-hinh-hoa-toan-hoc-bai-toan-thiet-ke-lon-bia.html
https://www.molympiad.net/
https://www.molympiad.net/
https://www.molympiad.net/2017/11/mo-hinh-hoa-toan-hoc-bai-toan-thiet-ke-lon-bia.html
true
2506595080985176441
UTF-8
Not found any posts Not found any related posts VIEW ALL Readmore Reply Cancel reply Delete By Home PAGES POSTS View All RECOMMENDED FOR YOU Tag ARCHIVE SEARCH ALL POSTS Not found any post match with your request Back Home Contents See also related Sunday Monday Tuesday Wednesday Thursday Friday Saturday Sun Mon Tue Wed Thu Fri Sat January February March April May June July August September October November December Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec just now 1 minute ago $$1$$ minutes ago 1 hour ago $$1$$ hours ago Yesterday $$1$$ days ago $$1$$ weeks ago more than 5 weeks ago Followers Follow Copy All Code Select All Code All codes were copied to your clipboard Can not copy the codes / texts, please press [CTRL]+[C] (or CMD+C with Mac) to copy THIS PREMIUM CONTENT IS LOCKED
PLEASE FOLLOW THE INSTRUCTIONS TO VIEW THIS CONTENT
NỘI DUNG CAO CẤP NÀY ĐÃ BỊ KHÓA
XIN HÃY LÀM THEO HƯỚNG DẪN ĐỂ XEM NỘI DUNG NÀY
STEP 1: SHARE THIS ARTICLE TO A SOCIAL NETWORK
BƯỚC 1: CHIA SẺ BÀI VIẾT NÀY LÊN MẠNG XÃ HỘI
STEP 2: CLICK THE LINK ON YOUR SOCIAL NETWORK
BƯỚC 2: BẤM VÀO ĐƯỜNG DẪN TRÊN MẠNG XÃ HỘI CỦA BẠN