Để giúp các bạn hiểu rõ hơn về khái niệm Mô hình hóa toán học cũng như các vấn đề liên quan thì hôm nay chúng ta cùng đi nghiên cứu, xem xét, áp dụng mô hình hóa toán học vào giải quyết tình huống mô hình hóa Thiết kế lon bia cho công ty bia Sài Gòn.
Báo cáo gởi về Công ty Bia Sài Gòn nên bao gồm:
Các thuật ngữ, số liệu chính: lon, kích cỡ, lượng nhôm ít nhất, thể tích $330 ml$.
Những biến số liên quan và những kết quả khi xem xét các giả thiết:
Để thuận tiện trong việc tính toán sau này, ta lấy đơn vị cm để tính bán kính và chiều cao của lon và làm tròn đến hàng phần chục.
Gọi $R$, $h$ lần lượt là bán kính đáy lon và chiều cao của lon $R, h >0$, lúc đó diện tích toàn phần của hình trụ được tính theo công thức $S=2\pi Rh+2\pi R^2$ và thể tích của lon được tính bằng $V = \pi R^2 h$. Mặt khác thể tích của lon là $330 ml$ nên ta có $V = \pi R^2 h =330$. Từ đó suy ra $h=\dfrac{330}{\pi R^2}$. Thay vào công thức diện tích ta được $$S=2\pi R \frac{330}{\pi R^2}+2\pi R^2 =\frac{660}{R}+2\pi R^2.$$ Bây giờ ta có bài toán:
Ta suy ra được diện tích toàn phần của hình trụ đạt giá trị nhỏ nhất ứng với giá trị $R=\sqrt[3]{\dfrac{165}{R}}\simeq 3,7$, lúc đó chiều cao của lon là $h=\dfrac{330}{\pi R^2}\simeq 7,5$, ở đây chính xác ta có $h=2R$.
Như vậy nhà thiết kế nên sử dụng hình trụ với bán kính $3,7 (cm)$ và chiều cao $7.5 (cm)$ để tạo thành lon có thể tích $330 ml$ và lượng nhôm sử dụng là nhỏ nhất.
Tất nhiên ở đây ta có thể sử dụng những kiến thức về đạo hàm để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$S=\frac{660}{R}+2\pi R^2.$$
Bước 4. Thẩm định mô hình: Ta có thể sử dụng các hình dạng lon khác như hình lăng trụ… dĩ nhiên lúc đó cách thức giải quyết vấn đề sẽ tương ứng với mô hình lựa chọn.
Ngoài ra người học có thể dùng bảng tính trong Excel để giải quyết bài toán theo việc thử những giá trị khác nhau của bán kính hình trụ nếu chưa có kiến thức về đạo hàm. Tuy nhiên việc khó khăn nhất khi sử dụng cách này để tìm giá trị nhỏ nhất của $S$ là nên bắt đầu thử giá trị nào của $R$ . Việc này sẽ được khắc phục nếu người học sử dụng chức năng vẽ đồ thị của một số phần mềm (chẳng hạn GSP) để giới hạn khoảng giá trị của bán kính. Qua đồ thị đó, ta có thể giới hạn khoảng thử của bán kính và tăng dần bán kính theo từng $0.1$.
Với các kích cỡ đã lựa chọn ta có $h=2R$ (nếu tính chính xác). Trong trường hợp một khối trụ có thể tích bất kỳ cho trước, việc chọn bán kính và chiều cao như thế nào để có được hình trụ có diện tích toàn phần nhỏ nhất.
Bước 5. Báo cáo kết quả và giải thích cho lời giải. Ở bước này, sau khi đo kích cỡ thật của lon Bia Sài Gòn đang dùng hiện tại là $h =10,8 (cm)$ ta thấy giữa kích cỡ đề nghị và kích cỡ đang sử dụng khác nhau. Chúng ta có thể giải thích cho sự khác biệt này như sau: dạng lon đang thiết kế là truyền thống của các tập đoàn nước giải khát, có thể tập đoàn còn quan tâm đến yếu tố thẩm mỹ và kích cỡ hiện tại phù hợp với tay cầm của nhiều khách hàng trên toàn thế giới.
Vấn đề thực tế.
Công ty Bia Sài Gòn đặt hàng bạn đánh giá việc đóng hàng hiện tại của họ. Đặc biệt bạn được yêu cầu thẩm định lon Bia Sài Gòn và xác định xem các kích cỡ của lon như thế nào để lượng nhôm tiêu tốn cho mỗi lon ít nhất nhưng vẫn đảm bảo thể tích của mỗi lon là $330 ml$ ($1ml = 1cm^3$).Báo cáo gởi về Công ty Bia Sài Gòn nên bao gồm:
- Các kích cỡ bạn đề nghị cho lượng nhôm ít nhất;
- Lời giải thích hay việc tính toán của bạn ủng hộ cho các kích cỡ đề nghị đó;
- Sự so sánh giữa kích cỡ thật và kích cỡ đề nghị; một sự bàn luận về các kích cỡ này.
- Công thức tính thể tích vật thể và diện tích các bề mặt, đặc biệt thể tích khối trụ và diện tích của mặt trụ.
- Ứng dụng đạo hàm hoặc bất đẳng thức Cauchy để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số; kỹ năng đọc đồ thị để định hướng việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất bằng cách khảo sát hàm số một cách rời rạc với công cụ bảng tính của Excel.
Lời giải tham khảo
Bước 1. Xây dựng mô hình thực tế: Vấn đề đặt ra là thiết kế lon có thể tích $330 ml$ nhưng sử dụng lượng nhôm ít nhất cho mỗi lon.Các thuật ngữ, số liệu chính: lon, kích cỡ, lượng nhôm ít nhất, thể tích $330 ml$.
Những biến số liên quan và những kết quả khi xem xét các giả thiết:
- Hình dạng, kích cỡ của lon phụ thuộc vào việc lựa chọn mô hình thường được sử dụng với các biến số tương ứng;
- Lượng nhôm tương ứng với bề mặt của lon được thiết kế phụ thuộc vào diện tích của bề mặt đó;
- Thể tích của lon được thiết kế phụ thuộc vào việc chọn hình dạng và các kích cỡ ở trên.
Để thuận tiện trong việc tính toán sau này, ta lấy đơn vị cm để tính bán kính và chiều cao của lon và làm tròn đến hàng phần chục.
Gọi $R$, $h$ lần lượt là bán kính đáy lon và chiều cao của lon $R, h >0$, lúc đó diện tích toàn phần của hình trụ được tính theo công thức $S=2\pi Rh+2\pi R^2$ và thể tích của lon được tính bằng $V = \pi R^2 h$. Mặt khác thể tích của lon là $330 ml$ nên ta có $V = \pi R^2 h =330$. Từ đó suy ra $h=\dfrac{330}{\pi R^2}$. Thay vào công thức diện tích ta được $$S=2\pi R \frac{330}{\pi R^2}+2\pi R^2 =\frac{660}{R}+2\pi R^2.$$ Bây giờ ta có bài toán:
Xác định $R, h$ để biểu thức $S$ đạt giá trị nhỏ nhất.Bước 3. Giải quyết vấn đề toán học: Với 3 số dương $a, b,c$, ta dễ dàng chứng minh được $$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac \geq 0$$ bằng cách áp dụng BĐT Cauchy lần lượt cho hai số dương. Mặt khác ta có đẳng thức quen thuộc $$a^3+b^3+c^3-3abc=(a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac).$$ Do đó $$a^3+b^3+c^3-3abc \geq 0.$$ Áp dụng điều chứng minh trên vào việc giải bài toán ở Bước 2 ta có $$S=\frac{660}{R}+2\pi R^2=\frac{330}{R}+\frac{330}{R}+2\pi R^2\geq 3\sqrt[3]{2\pi 330^2}.$$ dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi $\dfrac{330}{R}=2\pi R^2$, hay $R=\sqrt[3]{\dfrac{165}{R}}$
Ta suy ra được diện tích toàn phần của hình trụ đạt giá trị nhỏ nhất ứng với giá trị $R=\sqrt[3]{\dfrac{165}{R}}\simeq 3,7$, lúc đó chiều cao của lon là $h=\dfrac{330}{\pi R^2}\simeq 7,5$, ở đây chính xác ta có $h=2R$.
Như vậy nhà thiết kế nên sử dụng hình trụ với bán kính $3,7 (cm)$ và chiều cao $7.5 (cm)$ để tạo thành lon có thể tích $330 ml$ và lượng nhôm sử dụng là nhỏ nhất.
Tất nhiên ở đây ta có thể sử dụng những kiến thức về đạo hàm để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$S=\frac{660}{R}+2\pi R^2.$$
Bước 4. Thẩm định mô hình: Ta có thể sử dụng các hình dạng lon khác như hình lăng trụ… dĩ nhiên lúc đó cách thức giải quyết vấn đề sẽ tương ứng với mô hình lựa chọn.
Ngoài ra người học có thể dùng bảng tính trong Excel để giải quyết bài toán theo việc thử những giá trị khác nhau của bán kính hình trụ nếu chưa có kiến thức về đạo hàm. Tuy nhiên việc khó khăn nhất khi sử dụng cách này để tìm giá trị nhỏ nhất của $S$ là nên bắt đầu thử giá trị nào của $R$ . Việc này sẽ được khắc phục nếu người học sử dụng chức năng vẽ đồ thị của một số phần mềm (chẳng hạn GSP) để giới hạn khoảng giá trị của bán kính. Qua đồ thị đó, ta có thể giới hạn khoảng thử của bán kính và tăng dần bán kính theo từng $0.1$.
Với các kích cỡ đã lựa chọn ta có $h=2R$ (nếu tính chính xác). Trong trường hợp một khối trụ có thể tích bất kỳ cho trước, việc chọn bán kính và chiều cao như thế nào để có được hình trụ có diện tích toàn phần nhỏ nhất.
Bước 5. Báo cáo kết quả và giải thích cho lời giải. Ở bước này, sau khi đo kích cỡ thật của lon Bia Sài Gòn đang dùng hiện tại là $h =10,8 (cm)$ ta thấy giữa kích cỡ đề nghị và kích cỡ đang sử dụng khác nhau. Chúng ta có thể giải thích cho sự khác biệt này như sau: dạng lon đang thiết kế là truyền thống của các tập đoàn nước giải khát, có thể tập đoàn còn quan tâm đến yếu tố thẩm mỹ và kích cỡ hiện tại phù hợp với tay cầm của nhiều khách hàng trên toàn thế giới.