Khi nghiên cứu thực tiễn chung quanh chúng ta như các hiện tượng vật lý, các hiện tượng có trong thiên nhiên, … thì chúng ta thường sử dụng toán học để khảo sát, đánh giá, để làm được điều này bắt buộc chúng ta cần phải xây dựng mô hình của hiện tượng đang nghiên cứu. Và quả thực, việc xây dựng các mô hình như thế chiếm một vị trí quan trọng trong quá trình toán học hoá các khoa học.
Thực tế lịch sử cho chúng ta thấy rằng, có những đối tượng nghiên cứu, không thể tham gia trực tiếp trong quá trình nhận thức và cho một thông tin xác định về nó. Đối với các đối tượng này, sự nghiên cứu tìm hiểu của chúng ta là sự nghiên cứu gián tiếp về thực hành hoặc về lý thuyết, trong đó chúng ta không nghiên cứu trực tiếp đối tượng chúng ta quan tâm, mà chúng ta đi nhận thức trên một hệ thống phụ giả tạo tự nhiên nào đó thỏa mãn:
Thực tế lịch sử cho chúng ta thấy rằng, có những đối tượng nghiên cứu, không thể tham gia trực tiếp trong quá trình nhận thức và cho một thông tin xác định về nó. Đối với các đối tượng này, sự nghiên cứu tìm hiểu của chúng ta là sự nghiên cứu gián tiếp về thực hành hoặc về lý thuyết, trong đó chúng ta không nghiên cứu trực tiếp đối tượng chúng ta quan tâm, mà chúng ta đi nhận thức trên một hệ thống phụ giả tạo tự nhiên nào đó thỏa mãn:
Hệ thống đó có một sự tương hợp khách quan nào đó với đối tượng mà ta đang nhận thức. Hệ thống đó có khả năng thay thế đối tượng đó trong một mối tương quan xác định . Trong khi nghiên cứu trên hệ thống này, rốt cuộc cho chúng ta thông tin chính xác về đối tượng mà ta đang nhận thức.
Việc xem mô hình hoá như là phương pháp của nhận thức đặc biệt quan trọng trong trường hợp tìm hiểu trực tiếp đối tượng nghiên cứu là khó khăn hoặc thậm chí không thể làm được. Trong trường hợp này, người ta tạo ra một mô hình của đối tượng đảm bảo tính trực quan trong thực nghiệm và dễ dàng nghiên cứu nhưng với một mức độ chính xác nhất định sao chép lại tính chất nguyên bản. Ở đây, ta có thể thấy được lợi ích kinh tế cả nhịp độ nghiên cứu cũng tăng lên do đặc điểm dễ hiểu của mô hình và có cả tính ưu việt về tính nhân đạo nếu nói về y học…
Nhiều tác giả (A. A. Dinôviep, I. I. Repdin, I. B. Nôvic, I. A. Giđanôp…) đã đề nghị phân chia các mô hình thành mô hình “hiện thực” và mô hình “tượng trưng”. Có thể lấy mô hình địa chất làm ví dụ cho mô hình hiện thực tự nhiên, trong khi dự đoán tình trạng một bờ sông người ta thường sử dụng những tài liệu về các khu vực khác đã được nghiên cứu từ trước của bờ sông mà vẻ ngoài tương tự như khu vực mà ta đang nghiên cứu. Việc áp dụng các mô hình tự nhiên bị hạn chế bởi lịch sử của sự hiểu biết con người. Cùng với tiến bộ của nhận thức và các phương tiện mô hình hoá, các mô hình tự nhiên đã dần được thay thế bằng mô hình nhân tạo. Trước khi bước vào xây dựng một cái cầu, người kỹ sư thường phải đắp và xây dựng mô hình thu nhỏ của chiếc cầu đó, mô hình đó giữ một mức độ nào đó các tính chất vật lý của hiện tượng đang được xét đến. Mô hình đó được gọi là vật mẫu kỹ thuật. Nhưng mô hình của cái cầu cũng có thể là một mạng điện trở, điện dung… Mô hình như thế không những thay thế được hoàn toàn mô hình trước đây (mô hình này về phương diện vật lý và hình học giống như nguyên bản) mà còn có nhiều điểm nổi trội hơn và thuận tiện hơn. Mô hình điện không chỉ mô phỏng chiếc cầu mà còn mô phỏng lại nhiều hiện tượng cơ học, âm học nữa. Trong nhóm đặc biệt các mô hình người ta tách riêng ra các mô hình tượng trưng. Các ví dụ đơn giản và trực quan nhất của mô hình tượng trưng là các bản đồ địa lý, các sơ đồ trắc địa theo một thang tỉ lệ xác định mô phỏng lại các đặc điểm này hay khác của hành tinh chúng ta. Mô hình tượng trưng cũng có thể là công thức cấu tạo trong hoá học, các công thức đó mô phỏng lại về mặt hoá học thành phần và cấu tạo của phân tử. Biến dạng của mô hình tượng trưng là các mô hình toán học.
Chúng ta sử dụng toán học để chính xác hoá và cụ thể hoá các quan niệm về mặt thực tiễn, phát hiện ra một cái gì mới mẽ trong các biểu hiện về lượng của các quy luật thuộc các lĩnh vực đang được nghiên cứu. Việc sử dụng toán học trong các khoa học khác cũng có thể ở hai mức độ: sử dụng khía cạnh kí hiệu của nó và sử dụng trực tiếp các mô hình toán học. Mô hình hoá toán học là điểm xuất phát và là yếu tố quan trọng của việc toán học hoá. Mỗi ứng dụng của toán học vào bất kỳ ngành khoa học nào đều là một sự mô hình hoá toán học theo nghĩa trên.
Giá trị to lớn của mô hình hoá là ở chỗ nhờ nó mà có thể nhận thức được nguyên bản những cái mà trước đây còn chưa biết. Chẳng hạn trong công trình “Lý thuyết trượt của các lớp đất núi và ứng dụng của nó” của G. S. Ecgianôp đã chứng tỏ tầm quan trọng của toán học và các mô hình cơ toán trong nhận thức các quy luật về núi. Ông đã xây dựng lý thuyết trượt của các lớp đất núi và đã nêu rõ việc ứng dụng nó để nghiên cứu trạng thái biến dạng căng của các công trình xây dựng khác nhau bằng cách sử dụng rộng rãi các phương pháp toán học.
Việc sử dụng các mô hình làm nguồn thông tin là do tính chất giả thuyết của chúng. Điều đó đặc biệt rõ ràng trong trường hợp mô hình toán học – các giả thuyết. “Giả thuyết toán học đóng vai trò hình thức phát triển của tri thức khoa học hiện đại và của sự vượt lên trước của toán học, của sự phản ánh vượt lên trước hiện thực khách quan bằng công cụ toán học”. Trong lịch sử, phương pháp giả thuyết toán học đã nảy sinh và ứng dụng trong nội bộ toán học. Trong quá trình thâm nhập dần dần và có quy luật của toán học và các phương pháp toán học vào các khoa học khác, phương pháp giả thuyết toán học dần dần được ứng dụng cả trong các khoa học này. Người ta thường nói rằng một lý thuyết vật lý hình thức hoá hiện đại gồm hai phần, công cụ toán học và nội dung vật lý, tức là hình thức và nội dung. Đôi khi hình thức vượt lên trên nội dung, chủ động ảnh hưởng tới nội dung, nhưng nội dung, sự giải thích về mặt vật lý của công cụ toán học là quyết định.
Chúng ta thấy rằng, một trong những mục tiêu quan trọng của việc dạy học là chuẩn bị cho thế hệ trẻ đủ tự tin và có được những hiểu biết cơ bản để xử lý tốt các tình huống của thế giới hiện thực xung quanh mình. Mô hình hoá toán học là một dạng của giải quyết vấn đề hiện thực. Các nhà toán học đã sử dụng các kỹ thuật được sử dụng trong quy trình mô hình hoá toán học để giải quyết vấn đề họ gặp phải trong công việc của mình, từ đó phát minh ra những kết quả mới (định lý, định nghĩa, hay khái niệm mới). Những chiến lược và kỹ năng học được trong các bài tập mô hình hoá sẽ giúp cho người học dễ dàng chuyển qua tình huống mới, giúp họ thấy được toán học trong một phạm vi ứng dụng rộng rãi. Tuy nhiên, thực tế cho thấy vì một số lý do khác nhau mà trong phân phối chương trình toán hiện nay, hiếm khi thấy vấn đề nêu trên được đề cập đến.
Sáu mức độ nhận thức của Bloom (biết, hiểu, áp dụng, phân tích, tổng hợp và đánh giá) thường được sử dụng để hỗ trợ giáo viên trong việc xác định các mức độ của quá trình nhận thức cho bài học của mình. Tuy nhiên, vấn đề thực tế ở phổ thông cho ta thấy rằng nhiều giáo viên toán thấy khó khăn khi trải rộng mục tiêu dạy học và đôi khi họ cảm thấy khá bế tắc trong việc xây dựng những bài học tương ứng để phù hợp với mức độ của nhận thức bậc cao, lý do của những điều này là bởi những bài toán ở sách giáo khoa ít đề cập đến các mức độ nhận thức bậc cao. Đây là điểm mà mô hình hoá toán học cần xuất hiện để giải quyết vấn đề khó khăn đó. Mô hình hoá toán học là một quá trình có nhiều mặt của giải quyết vấn đề, nó nối kết với những bước liên tục tinh lọc lại, và nó được coi như là một quy trình ở đó người học giải quyết vấn đề đến một mức độ nào đó, dùng những thông tin có chủ đề từ những hướng dẫn trên lớp học và rồi kiểm tra lại những dữ kiện để tìm ra cách thức làm cho lời giải tốt hơn, nhanh hơn và hiệu quả hơn. Người học tham gia vào quá trình mô hình hoá toán học sẽ phơi bày ra nhiều mức độ của “tư duy toán học”.
Nói chung, vấn đề tích hợp mô hình hóa toán học vào chương trình toán THPT sẽ hướng đến giải quyết hai vấn đề mà chúng ta cần tính đến trong quá trình dạy học đó là:
- Người học hiểu được sự liên quan của toán học với đời sống hàng ngày, trong môi trường của chúng ta và với các ngành khoa học;
- Người học đạt được những năng lực giúp họ giải quyết được những vấn đề toán học trong đời sống bao gồm cả các vấn đề trong đời sống hàng ngày, trong môi trường của chúng ta và trong khoa học.