$hide=mobile

Đề Thi Olympic Toán VMEO IV (Cấp THPT)

  1. Với $n$ là một số nguyên dương, dãy số $a_n$ được xác định bởi công thức $$a_1=1,\quad a_{n+1}=\dfrac{1}{a_1+a_2+\cdots+a_n}-\sqrt{2},\,\forall n\in\mathbb N^*.$$ Tìm giới hạn của dãy số $S_n$ xác định bởi $S_n=a_1+a_2+ \cdots +a_n$
  2. Cho tam giác $ABC$ có $P$, $Q$ là hai điểm đẳng giác nằm bên trong. Gọi $AP$, $AQ$ lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $QBC$ và $PBC$ tại $M$, $N$ ($M$, $N$ nằm trong tam giác $ABC$).
    a) Chứng minh rằng bốn điểm $M$, $N$, $P$, $Q$ cùng thuộc một đường tròn, gọi đường tròn này là $(I)$.
    b) Gọi $MN$ cắt $PQ$ tại $J$. Chứng minh rằng đường thẳng $IJ$ luôn đi qua một điểm cố định khi $P$, $Q$ thay đổi.
    Chú thích. $P$, $Q$ được gọi là hai điểm đẳng giác của tam giác $ABC$ nếu các đường thẳng $AP$, $BP$, $CP$ lần lượt đối xứng với đường thẳng $AQ$, $BQ$, $CQ$ qua các đường phân giác trong góc $A$, $B$, $C$ của tam giác $ABC$.
  3. Cho trước số nguyên dương $k$. Tìm điều kiện của số nguyên dương $m$ theo $k$ sao cho tồn tại duy nhất một số nguyên dương $n$ thoả mãn $n^m \mid 5^{n^k}+1$.
  4. Cho $n$ là một số nguyên dương. Xếp $n$ bạn học sinh $A_1,A_2,..,A_n$ cách đều nhau trên một vòng tròn. Phát cho họ mỗi người một số kẹo với tổng là $m \ge n$ cây kẹo. Ta gọi một cấu hình là "cân bằng" nếu với mỗi bạn học sinh $A_i$ bất kì, luôn tồn tại ít nhất một đa giác đều nhận $A_i$ làm đỉnh, và tất cả các bạn học sinh là đỉnh của đa giác này đều có số kẹo bằng nhau.
    a) Với $n$ cho trước tìm điều kiện tối thiểu của $m$ để có thể phát kẹo cho các học sinh tạo ra cấu hình "cân bằng".
    b) Giả sử các bạn học sinh có thể thực hiện các bước chuyền kẹo, mỗi bước một bạn có thể chuyền một viên kẹo cho một bạn kế bên (trái hoặc phải tùy ý) với điều kiện người nhận kẹo phải có ít kẹo hơn người cho. Chứng minh rằng nếu $n$ là tích của nhiều nhất 2 số nguyên tố và $m$ tương ứng thỏa mãn câu a), khi đó với bất kì cách phát kẹo ban đầu như thế nào, ta luôn có thể đưa về cấu hình "cân bằng" sau hữu hạn lần chuyển kẹo.
  5. Với $k \geqslant 0$ cho trước và $a,b,c$ là ba số thực dương sao cho \[\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} = (k+1)^2 + \frac{2}{k+1}.\] Chứng minh rằng \[a^2+b^2+c^2 \leqslant (k^2+1)(ab+bc+ca)\]
  6. Cho tam giác $ABC$ với hai điểm $P$, $Q$ đẳng giác. Gọi $D$, $E$ là hình chiếu của $P$ lên $AB$, $AC$. $G$ là hình chiếu của $Q$ lên $BC$. $U$ là hình chiếu của $G$ lên $DE$, $L$ là hình chiếu của $P$ lên $AQ$, $K$ là đối xứng của $L$ qua $UG$. Chứng minh $UK$ đi qua điểm cố định khi $P$, $Q$ thay đổi.
  7. Tìm tất cả các số nguyên dương $a,b,c$ đôi một nguyên tố cùng nhau sao cho $a^2+b \mid b^2+c$, $b^2+c \mid c^2+a$ và tất cả các ước nguyên tố của $a^2+b$ không đồng dư với $1$ modulo $7$.
  8. Tìm hằng số $k$ lớn nhất sao cho bất đẳng thức \[a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca \geqslant k\left|\frac{a^3-b^3}{a+b}+\frac{b^3-c^3}{b+c}+\frac{c^3-a^3}{c+a}\right|\] luôn đúng với mọi số thực không âm $a, b, c$ thỏa mãn $(a+b)(b+c)(c+a)>0$.
  9. Cho số nguyên dương $k$. Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương $n$ thoả mãn đồng thời các tính chất sau
    a) $n$ có ít nhất $k$ ước nguyên tố phân biệt.
    b) Tất cả các ước nguyên tố khác $3$ của $n$ đều có dạng $4t+1$, với $t$ là số nguyên dương nào đó.
    c) $n\mid 2^{\sigma (n)}-1$.
    Chú thích. Ở đây ta kí hiệu $\sigma(n)$ là tổng các ước nguyên dương của $n$.
  10. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. $P$ là điểm thuộc cung $BC$ không chứa $A$ sao cho $AP$ là đường đối trung của tam giác $ABC$. $E$, $F$ lần lượt đối xứng với $P$ qua $CA$, $AB$. $K$ là đối xứng với $A$ qua $EF$. $L$ là hình chiếu của $K$ trên đường thẳng qua $A$ và song song với $BC$. Chứng minh rằng $PA=PL$.
  11. Ta gọi tribi của một số nguyên dương $k$ (ký hiệu là $T(k)$) là số tất cả các cặp $11$ trong biểu diễn nhị phân của $k$. Ví dụ $$T(1)=T(2)=0; T(3)=1; T(4)=T(5)=0; T(6)=1; T(7)=2; \, v.v....$$ Hãy tính $\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^{2^n} T(k)$.

Post a Comment


$hide=home

$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0

$hide=post$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0

$hide=home

Kỷ Yếu$cl=violet$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0

Journals$cl=green$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0

Name

Ả-rập Xê-út,1,Abel,5,Albania,2,AMM,2,Amsterdam,5,Ấn Độ,1,An Giang,21,Andrew Wiles,1,Anh,2,Áo,1,APMO,19,Ba Đình,2,Ba Lan,1,Bà Rịa Vũng Tàu,52,Bắc Giang,49,Bắc Kạn,1,Bạc Liêu,9,Bắc Ninh,47,Bắc Trung Bộ,7,Bài Toán Hay,5,Balkan,37,Baltic Way,30,BAMO,1,Bất Đẳng Thức,66,Bến Tre,46,Benelux,13,Bình Định,44,Bình Dương,21,Bình Phước,38,Bình Thuận,34,Birch,1,Booklet,11,Bosnia Herzegovina,3,BoxMath,3,Brazil,2,Bùi Đắc Hiên,1,Bùi Thị Thiện Mỹ,1,Bùi Văn Tuyên,1,Bùi Xuân Diệu,1,Bulgaria,5,Buôn Ma Thuột,1,BxMO,12,Cà Mau,13,Cần Thơ,14,Canada,39,Cao Bằng,6,Cao Quang Minh,1,Câu Chuyện Toán Học,36,Caucasus,2,CGMO,10,China,10,Chọn Đội Tuyển,347,Chu Tuấn Anh,1,Chuyên Đề,124,Chuyên Sư Phạm,31,Chuyên Trần Hưng Đạo,3,Collection,8,College Mathematic,1,Concours,1,Cono Sur,1,Contest,610,Correspondence,1,Cosmin Poahata,1,Crux,2,Czech-Polish-Slovak,25,Đà Nẵng,39,Đa Thức,2,Đại Số,20,Đắk Lắk,54,Đắk Nông,7,Đan Phượng,1,Danube,7,Đào Thái Hiệp,1,ĐBSCL,2,Đề Thi HSG,1641,Đề Thi JMO,1,Điện Biên,8,Định Lý,1,Định Lý Beaty,1,Đỗ Hữu Đức Thịnh,1,Do Thái,3,Doãn Quang Tiến,4,Đoàn Quỳnh,1,Đoàn Văn Trung,1,Đống Đa,4,Đồng Nai,49,Đồng Tháp,51,Du Hiền Vinh,1,Đức,1,Duyên Hải Bắc Bộ,25,E-Book,33,EGMO,16,ELMO,19,EMC,8,Epsilon,1,Estonian,5,Euler,1,Evan Chen,1,Fermat,3,Finland,4,Forum Of Geometry,2,Furstenberg,1,G. Polya,3,Gặp Gỡ Toán Học,26,Gauss,1,GDTX,3,Geometry,12,Gia Lai,25,Gia Viễn,2,Giải Tích Hàm,1,Giảng Võ,1,Giới hạn,2,Goldbach,1,Hà Giang,2,Hà Lan,1,Hà Nam,29,Hà Nội,231,Hà Tĩnh,72,Hà Trung Kiên,1,Hải Dương,49,Hải Phòng,42,Hàn Quốc,5,Hậu Giang,4,Hậu Lộc,1,Hilbert,1,Hình Học,33,HKUST,7,Hòa Bình,13,Hoài Nhơn,1,Hoàng Bá Minh,1,Hoàng Minh Quân,1,Hodge,1,Hojoo Lee,2,HOMC,5,HongKong,8,HSG 10,100,HSG 11,86,HSG 12,580,HSG 9,402,HSG Cấp Trường,78,HSG Quốc Gia,99,HSG Quốc Tế,16,Hứa Lâm Phong,1,Hứa Thuần Phỏng,1,Hùng Vương,2,Hưng Yên,32,Hương Sơn,2,Huỳnh Kim Linh,1,Hy Lạp,1,IMC,25,IMO,54,India,45,Inequality,13,InMC,1,International,307,Iran,11,Jakob,1,JBMO,41,Jewish,1,Journal,20,Junior,38,K2pi,1,Kazakhstan,1,Khánh Hòa,16,KHTN,53,Kiên Giang,63,Kim Liên,1,Kon Tum,18,Korea,5,Kvant,2,Kỷ Yếu,42,Lai Châu,4,Lâm Đồng,33,Lạng Sơn,21,Langlands,1,Lào Cai,16,Lê Hải Châu,1,Lê Hải Khôi,1,Lê Hoành Phò,4,Lê Khánh Sỹ,3,Lê Minh Cường,1,Lê Phúc Lữ,1,Lê Phương,1,Lê Quý Đôn,1,Lê Viết Hải,1,Lê Việt Hưng,1,Leibniz,1,Long An,42,Lớp 10,10,Lớp 10 Chuyên,452,Lớp 10 Không Chuyên,229,Lớp 11,1,Lục Ngạn,1,Lượng giác,1,Lương Tài,1,Lưu Giang Nam,2,Lý Thánh Tông,1,Macedonian,1,Malaysia,1,Margulis,2,Mark Levi,1,Mathematical Excalibur,1,Mathematical Reflections,1,Mathematics Magazine,1,Mathematics Today,1,Mathley,1,MathLinks,1,MathProblems Journal,1,Mathscope,8,MathsVN,5,MathVN,1,MEMO,10,Metropolises,4,Mexico,1,MIC,1,Michael Guillen,1,Mochizuki,1,Moldova,1,Moscow,1,Mỹ,9,MYTS,4,Nam Định,32,Nam Phi,1,Nam Trung Bộ,1,National,249,Nesbitt,1,Newton,4,Nghệ An,50,Ngô Bảo Châu,2,Ngô Việt Hải,1,Ngọc Huyền,2,Nguyễn Anh Tuyến,1,Nguyễn Bá Đang,1,Nguyễn Đình Thi,1,Nguyễn Đức Tấn,1,Nguyễn Đức Thắng,1,Nguyễn Duy Khương,1,Nguyễn Duy Tùng,1,Nguyễn Hữu Điển,3,Nguyễn Mình Hà,1,Nguyễn Minh Tuấn,8,Nguyễn Phan Tài Vương,1,Nguyễn Phú Khánh,1,Nguyễn Phúc Tăng,1,Nguyễn Quản Bá Hồng,1,Nguyễn Quang Sơn,1,Nguyễn Tài Chung,5,Nguyễn Tăng Vũ,1,Nguyễn Tất Thu,1,Nguyễn Thúc Vũ Hoàng,1,Nguyễn Trung Tuấn,8,Nguyễn Tuấn Anh,2,Nguyễn Văn Huyện,3,Nguyễn Văn Mậu,25,Nguyễn Văn Nho,1,Nguyễn Văn Quý,2,Nguyễn Văn Thông,1,Nguyễn Việt Anh,1,Nguyễn Vũ Lương,2,Nhật Bản,3,Nhóm $\LaTeX$,4,Nhóm Toán,1,Ninh Bình,41,Ninh Thuận,15,Nội Suy Lagrange,2,Nội Suy Newton,1,Nordic,19,Olympiad Corner,1,Olympiad Preliminary,2,Olympic 10,98,Olympic 10/3,5,Olympic 11,89,Olympic 12,30,Olympic 24/3,6,Olympic 27/4,20,Olympic 30/4,66,Olympic KHTN,6,Olympic Sinh Viên,73,Olympic Tháng 4,12,Olympic Toán,300,Olympic Toán Sơ Cấp,3,PAMO,1,Phạm Đình Đồng,1,Phạm Đức Tài,1,Phạm Huy Hoàng,1,Pham Kim Hung,3,Phạm Quốc Sang,2,Phan Huy Khải,1,Phan Thành Nam,1,Pháp,2,Philippines,8,Phú Thọ,30,Phú Yên,26,Phùng Hồ Hải,1,Phương Trình Hàm,11,Phương Trình Pythagoras,1,Pi,1,Polish,32,Problems,1,PT-HPT,14,PTNK,44,Putnam,25,Quảng Bình,44,Quảng Nam,31,Quảng Ngãi,33,Quảng Ninh,43,Quảng Trị,26,Quỹ Tích,1,Riemann,1,RMM,12,RMO,24,Romania,36,Romanian Mathematical,1,Russia,1,Sách Thường Thức Toán,7,Sách Toán,69,Sách Toán Cao Học,1,Sách Toán THCS,7,Saudi Arabia,7,Scholze,1,Serbia,17,Sharygin,24,Shortlists,56,Simon Singh,1,Singapore,1,Số Học - Tổ Hợp,27,Sóc Trăng,28,Sơn La,11,Spain,8,Star Education,5,Stars of Mathematics,11,Swinnerton-Dyer,1,Talent Search,1,Tăng Hải Tuân,2,Tạp Chí,14,Tập San,6,Tây Ban Nha,1,Tây Ninh,29,Thạch Hà,1,Thái Bình,39,Thái Nguyên,49,Thái Vân,2,Thanh Hóa,57,THCS,2,Thổ Nhĩ Kỳ,5,Thomas J. Mildorf,1,THPT Chuyên Lê Quý Đôn,1,THPTQG,15,THTT,6,Thừa Thiên Huế,35,Tiền Giang,19,Tin Tức Toán Học,1,Titu Andreescu,2,Toán 12,7,Toán Cao Cấp,3,Toán Chuyên,2,Toán Rời Rạc,5,Toán Tuổi Thơ,3,Tôn Ngọc Minh Quân,2,TOT,1,TPHCM,125,Trà Vinh,5,Trắc Nghiệm,1,Trắc Nghiệm Toán,2,Trại Hè,34,Trại Hè Hùng Vương,25,Trại Hè Phương Nam,5,Trần Đăng Phúc,1,Trần Minh Hiền,2,Trần Nam Dũng,9,Trần Phương,1,Trần Quang Hùng,1,Trần Quốc Anh,2,Trần Quốc Luật,1,Trần Quốc Nghĩa,1,Trần Tiến Tự,1,Trịnh Đào Chiến,2,Trung Quốc,12,Trường Đông,19,Trường Hè,7,Trường Thu,1,Trường Xuân,2,TST,55,Tuyên Quang,6,Tuyển Sinh,3,Tuyển Tập,44,Tuymaada,4,Undergraduate,66,USA,44,USAJMO,10,USATST,7,Uzbekistan,1,Vasile Cîrtoaje,4,Vật Lý,1,Viện Toán Học,2,Vietnam,4,Viktor Prasolov,1,VIMF,1,Vinh,27,Vĩnh Long,20,Vĩnh Phúc,63,Virginia Tech,1,VLTT,1,VMEO,4,VMF,12,VMO,46,VNTST,22,Võ Anh Khoa,1,Võ Quốc Bá Cẩn,26,Võ Thành Văn,1,Vojtěch Jarník,6,Vũ Hữu Bình,7,Vương Trung Dũng,1,WFNMC Journal,1,Wiles,1,Yên Bái,17,Yên Định,1,Yên Thành,1,Zhautykov,11,Zhou Yuan Zhe,1,
ltr
item
MOlympiad: Đề Thi Olympic Toán VMEO IV (Cấp THPT)
Đề Thi Olympic Toán VMEO IV (Cấp THPT)
MOlympiad
https://www.molympiad.net/2017/11/de-thi-olympic-toan-vmeo-iv-cap-thpt.html
https://www.molympiad.net/
https://www.molympiad.net/
https://www.molympiad.net/2017/11/de-thi-olympic-toan-vmeo-iv-cap-thpt.html
true
2506595080985176441
UTF-8
Loaded All Posts Not found any posts VIEW ALL Readmore Reply Cancel reply Delete By Home PAGES POSTS View All RECOMMENDED FOR YOU LABEL ARCHIVE SEARCH ALL POSTS Not found any post match with your request Back Home Sunday Monday Tuesday Wednesday Thursday Friday Saturday Sun Mon Tue Wed Thu Fri Sat January February March April May June July August September October November December Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec just now 1 minute ago $$1$$ minutes ago 1 hour ago $$1$$ hours ago Yesterday $$1$$ days ago $$1$$ weeks ago more than 5 weeks ago Followers Follow THIS PREMIUM CONTENT IS LOCKED Please share to unlock Copy All Code Select All Code All codes were copied to your clipboard Can not copy the codes / texts, please press [CTRL]+[C] (or CMD+C with Mac) to copy