$hide=mobile

Đề Thi Olympic Toán VMEO III

  1. Cho $\triangle ABC$ nội tiếp trong đường tròn tâm $O$. Lấy $A_1$ là một điểm trên cung $BC$ không chứa $A$ sao cho đường thẳng vuông góc với $OA$ từ $A_1$ cắt các đường thẳng $AB$, $AC$ tại hai điểm và đoạn thẳng nối hai điểm đó nhận $A_1$ làm trung điểm. Các điểm $B_1$, $C_1$ được xác định tương tự. Chứng minh rằng các đường thẳng $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ đồng quy. 
  2. Tìm tất cả các bộ ba số nguyên $(x, y, z)$ thỏa mãn $$x^4+5y^4=z^4$$
  3. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb R \to \mathbb R$ thỏa mãn $$f(x^2+f(y)−y)=(f(x))^2$$
  4. Chứng minh rằng trong tập tất cả các đỉnh của một đa giác lồi bất kỳ luôn tồn tại ba đỉnh mà tam giác được tạo thành từ ba đỉnh này có chu vi lớn hơn $70%$ chu vi đa giác. 
  5. Trong một cuộc thi có $11$ thí sinh tham gia giải $9$ bài toán. Sau khi kết thúc cuộc thi người ta thấy rằng cứ hai thí sinh bất kỳ thì giải chung với nhau không quá một bài toán. Tìm số nguyên dương $k$ lớn nhất sao cho mỗi bài toán đều có ít nhất $k$ thí sinh giải được. 
  6. Cho hình thang cân $ABCD$, có đáy lớn $CD$, đáy nhỏ $AB$. Xét $M$ là một điểm bất kỳ trên cạnh $AB$ và $(d)$ là đường thẳng qua $M$ và vuông góc với $AB$. Hai tia $Mx$ và $My$ gọi là thỏa mãn điều kiện $(T)$ nếu như chúng đối xứng với nhau qua $(d)$ và lần lượt cắt hai tia $AD$ và $BC$ tại $E$ và $F$. Tìm quỹ tích trung điểm đoạn $EF$ khi hai tia $Mx$ và $My$ thay đổi và thỏa mãn điều kiện $(T)$.
  7. Cho $x, y, z$ là các số thực không âm có tổng bằng $1$. Chứng minh rắng $$\sqrt[3] {x-y+z^3}+\sqrt[3] {y-z+x^3}+\sqrt[3] {z-x+y^3}\leq 1$$
  8. Cho trước số nguyên $a$ lớn hơn $1$. Gọi $p_1<p_2<...<p_k$ là tất cả các ước số nguyên tố của $a$. Với mỗi số nguyên dương $n$ ta định nghĩa $$\left\{ \begin{array}{1} C_0(n)=a^{2n}, C_1(n)=\dfrac{a^{2n}}{p_1^2}, ..., C_k(n)=\dfrac{a^{2n}}{p_k^2} \\ A=a^2+1 \\ T(n)=A^{C_0(n)}-1 \\ M(n)=BCNN (a^{2n+2}, A^{C_1(n)}-1, ..., A^{C_k(n)}-1) \\ A_n=\dfrac{T(n)}{M(n)} \end{array} \right.$$ Chứng minh rằng dãy số $A_1, A_2, ...$ thỏa mãn tính chất
    • Mỗi số trong dãy đều là số nguyên lớn hơn $1$ và chỉ có các ước số nguyên tố dạng $am+1$
    • Hai số khác nhau bất kỳ trong dãy đều nguyên tố cùng nhau.
  9. Cho đường tròn $(O)$ và một điểm $P$ nằm ngoài đường tròn đó. $M$ là một điểm chạy trên đường tròn $(O)$. Đường tròn tâm $I$ đường kính $PM$ cắt đường tròn $(O)$ lần nữa tại $N$. Tiếp tuyến của $(I)$ tại $P$ cắt $MN$ tại $Q$. Đường thẳng qua $Q$ vuông góc với $PO$ cắt $PM$ tại $A$. $AN$ cắt $(O)$ lần nữa tại $B$. $BM$ cắt $PO$ tại $C$. Chứng minh rằng $AC$ vuông góc với $OQ$
  10. Đồ thị đầy đủ $n$ đỉnh là một tập hợp gồm $n$ đỉnh và các đỉnh đó được nối với nhau đôi một bởi các cạnh. Giả sử đồ thị có $n$ đỉnh $A_1, A_2, ..., A_n$, chu trình là một tập hợp các cạnh có dạng $A_{i_1} A_{i_2}, A_{i_2}A_{i_3}, ..., A_{i_m}A_{i_1}$, với $i_1, i_2, ..., i_m\in \{1, 2, ..., n\}$ đôi một khác nhau. Ta gọi $m$ là độ dài của chu trình này. Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất sao cho với mọi cách tô màu tất cả các cạnh của một đồ thị đầy đủ $n$ đỉnh, mỗi cạnh được tô bởi một trong ba màu khác nhau thì luôn tồn tại một chu trình có độ dài chẵn cùng màu.
  11. Cho bốn số thực dương $a, b, c, d$ thỏa mãn $$(a+b+c+d)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}\right)=20.$$ Chứng minh rằng $$(a^2+b^2+c^2+d^2)\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+\dfrac{1}{d^2}\right)\geq 36$$
  12. Với mỗi số nguyên dương $n$ ký kiệu $\dfrac{a_n}{b_n}$ là dạng tối giản của phân số $1+\dfrac{1}{2}+ ... +\dfrac{1}{n}$. Chứng minh rằng với mọi cặp số nguyên dương $(M, N)$ ta luôn tìm được số nguyên dương $m$ mà $(a_n, N)=1$ với mọi $n=m, m+1, ..., m+M$

Post a Comment


$hide=home

$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0

$hide=post$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0

$hide=home

Kỷ Yếu$cl=violet$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0

Journals$cl=green$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0

Name

Ả-rập Xê-út,1,Abel,5,Albania,2,AMM,2,Amsterdam,5,Ấn Độ,1,An Giang,21,Andrew Wiles,1,Anh,2,Áo,1,APMO,19,Ba Đình,2,Ba Lan,1,Bà Rịa Vũng Tàu,52,Bắc Giang,49,Bắc Kạn,1,Bạc Liêu,9,Bắc Ninh,47,Bắc Trung Bộ,7,Bài Toán Hay,5,Balkan,37,Baltic Way,30,BAMO,1,Bất Đẳng Thức,66,Bến Tre,46,Benelux,13,Bình Định,44,Bình Dương,21,Bình Phước,38,Bình Thuận,34,Birch,1,Booklet,11,Bosnia Herzegovina,3,BoxMath,3,Brazil,2,Bùi Đắc Hiên,1,Bùi Thị Thiện Mỹ,1,Bùi Văn Tuyên,1,Bùi Xuân Diệu,1,Bulgaria,5,Buôn Ma Thuột,1,BxMO,12,Cà Mau,13,Cần Thơ,14,Canada,39,Cao Bằng,6,Cao Quang Minh,1,Câu Chuyện Toán Học,36,Caucasus,2,CGMO,10,China,10,Chọn Đội Tuyển,347,Chu Tuấn Anh,1,Chuyên Đề,124,Chuyên Sư Phạm,31,Chuyên Trần Hưng Đạo,3,Collection,8,College Mathematic,1,Concours,1,Cono Sur,1,Contest,610,Correspondence,1,Cosmin Poahata,1,Crux,2,Czech-Polish-Slovak,25,Đà Nẵng,39,Đa Thức,2,Đại Số,20,Đắk Lắk,54,Đắk Nông,7,Đan Phượng,1,Danube,7,Đào Thái Hiệp,1,ĐBSCL,2,Đề Thi HSG,1641,Đề Thi JMO,1,Điện Biên,8,Định Lý,1,Định Lý Beaty,1,Đỗ Hữu Đức Thịnh,1,Do Thái,3,Doãn Quang Tiến,4,Đoàn Quỳnh,1,Đoàn Văn Trung,1,Đống Đa,4,Đồng Nai,49,Đồng Tháp,51,Du Hiền Vinh,1,Đức,1,Duyên Hải Bắc Bộ,25,E-Book,33,EGMO,16,ELMO,19,EMC,8,Epsilon,1,Estonian,5,Euler,1,Evan Chen,1,Fermat,3,Finland,4,Forum Of Geometry,2,Furstenberg,1,G. Polya,3,Gặp Gỡ Toán Học,26,Gauss,1,GDTX,3,Geometry,12,Gia Lai,25,Gia Viễn,2,Giải Tích Hàm,1,Giảng Võ,1,Giới hạn,2,Goldbach,1,Hà Giang,2,Hà Lan,1,Hà Nam,29,Hà Nội,231,Hà Tĩnh,72,Hà Trung Kiên,1,Hải Dương,49,Hải Phòng,42,Hàn Quốc,5,Hậu Giang,4,Hậu Lộc,1,Hilbert,1,Hình Học,33,HKUST,7,Hòa Bình,13,Hoài Nhơn,1,Hoàng Bá Minh,1,Hoàng Minh Quân,1,Hodge,1,Hojoo Lee,2,HOMC,5,HongKong,8,HSG 10,100,HSG 11,86,HSG 12,580,HSG 9,402,HSG Cấp Trường,78,HSG Quốc Gia,99,HSG Quốc Tế,16,Hứa Lâm Phong,1,Hứa Thuần Phỏng,1,Hùng Vương,2,Hưng Yên,32,Hương Sơn,2,Huỳnh Kim Linh,1,Hy Lạp,1,IMC,25,IMO,54,India,45,Inequality,13,InMC,1,International,307,Iran,11,Jakob,1,JBMO,41,Jewish,1,Journal,20,Junior,38,K2pi,1,Kazakhstan,1,Khánh Hòa,16,KHTN,53,Kiên Giang,63,Kim Liên,1,Kon Tum,18,Korea,5,Kvant,2,Kỷ Yếu,42,Lai Châu,4,Lâm Đồng,33,Lạng Sơn,21,Langlands,1,Lào Cai,16,Lê Hải Châu,1,Lê Hải Khôi,1,Lê Hoành Phò,4,Lê Khánh Sỹ,3,Lê Minh Cường,1,Lê Phúc Lữ,1,Lê Phương,1,Lê Quý Đôn,1,Lê Viết Hải,1,Lê Việt Hưng,1,Leibniz,1,Long An,42,Lớp 10,10,Lớp 10 Chuyên,452,Lớp 10 Không Chuyên,229,Lớp 11,1,Lục Ngạn,1,Lượng giác,1,Lương Tài,1,Lưu Giang Nam,2,Lý Thánh Tông,1,Macedonian,1,Malaysia,1,Margulis,2,Mark Levi,1,Mathematical Excalibur,1,Mathematical Reflections,1,Mathematics Magazine,1,Mathematics Today,1,Mathley,1,MathLinks,1,MathProblems Journal,1,Mathscope,8,MathsVN,5,MathVN,1,MEMO,10,Metropolises,4,Mexico,1,MIC,1,Michael Guillen,1,Mochizuki,1,Moldova,1,Moscow,1,Mỹ,9,MYTS,4,Nam Định,32,Nam Phi,1,Nam Trung Bộ,1,National,249,Nesbitt,1,Newton,4,Nghệ An,50,Ngô Bảo Châu,2,Ngô Việt Hải,1,Ngọc Huyền,2,Nguyễn Anh Tuyến,1,Nguyễn Bá Đang,1,Nguyễn Đình Thi,1,Nguyễn Đức Tấn,1,Nguyễn Đức Thắng,1,Nguyễn Duy Khương,1,Nguyễn Duy Tùng,1,Nguyễn Hữu Điển,3,Nguyễn Mình Hà,1,Nguyễn Minh Tuấn,8,Nguyễn Phan Tài Vương,1,Nguyễn Phú Khánh,1,Nguyễn Phúc Tăng,1,Nguyễn Quản Bá Hồng,1,Nguyễn Quang Sơn,1,Nguyễn Tài Chung,5,Nguyễn Tăng Vũ,1,Nguyễn Tất Thu,1,Nguyễn Thúc Vũ Hoàng,1,Nguyễn Trung Tuấn,8,Nguyễn Tuấn Anh,2,Nguyễn Văn Huyện,3,Nguyễn Văn Mậu,25,Nguyễn Văn Nho,1,Nguyễn Văn Quý,2,Nguyễn Văn Thông,1,Nguyễn Việt Anh,1,Nguyễn Vũ Lương,2,Nhật Bản,3,Nhóm $\LaTeX$,4,Nhóm Toán,1,Ninh Bình,41,Ninh Thuận,15,Nội Suy Lagrange,2,Nội Suy Newton,1,Nordic,19,Olympiad Corner,1,Olympiad Preliminary,2,Olympic 10,98,Olympic 10/3,5,Olympic 11,89,Olympic 12,30,Olympic 24/3,6,Olympic 27/4,20,Olympic 30/4,66,Olympic KHTN,6,Olympic Sinh Viên,73,Olympic Tháng 4,12,Olympic Toán,300,Olympic Toán Sơ Cấp,3,PAMO,1,Phạm Đình Đồng,1,Phạm Đức Tài,1,Phạm Huy Hoàng,1,Pham Kim Hung,3,Phạm Quốc Sang,2,Phan Huy Khải,1,Phan Thành Nam,1,Pháp,2,Philippines,8,Phú Thọ,30,Phú Yên,26,Phùng Hồ Hải,1,Phương Trình Hàm,11,Phương Trình Pythagoras,1,Pi,1,Polish,32,Problems,1,PT-HPT,14,PTNK,44,Putnam,25,Quảng Bình,44,Quảng Nam,31,Quảng Ngãi,33,Quảng Ninh,43,Quảng Trị,26,Quỹ Tích,1,Riemann,1,RMM,12,RMO,24,Romania,36,Romanian Mathematical,1,Russia,1,Sách Thường Thức Toán,7,Sách Toán,69,Sách Toán Cao Học,1,Sách Toán THCS,7,Saudi Arabia,7,Scholze,1,Serbia,17,Sharygin,24,Shortlists,56,Simon Singh,1,Singapore,1,Số Học - Tổ Hợp,27,Sóc Trăng,28,Sơn La,11,Spain,8,Star Education,5,Stars of Mathematics,11,Swinnerton-Dyer,1,Talent Search,1,Tăng Hải Tuân,2,Tạp Chí,14,Tập San,6,Tây Ban Nha,1,Tây Ninh,29,Thạch Hà,1,Thái Bình,39,Thái Nguyên,49,Thái Vân,2,Thanh Hóa,57,THCS,2,Thổ Nhĩ Kỳ,5,Thomas J. Mildorf,1,THPT Chuyên Lê Quý Đôn,1,THPTQG,15,THTT,6,Thừa Thiên Huế,35,Tiền Giang,19,Tin Tức Toán Học,1,Titu Andreescu,2,Toán 12,7,Toán Cao Cấp,3,Toán Chuyên,2,Toán Rời Rạc,5,Toán Tuổi Thơ,3,Tôn Ngọc Minh Quân,2,TOT,1,TPHCM,125,Trà Vinh,5,Trắc Nghiệm,1,Trắc Nghiệm Toán,2,Trại Hè,34,Trại Hè Hùng Vương,25,Trại Hè Phương Nam,5,Trần Đăng Phúc,1,Trần Minh Hiền,2,Trần Nam Dũng,9,Trần Phương,1,Trần Quang Hùng,1,Trần Quốc Anh,2,Trần Quốc Luật,1,Trần Quốc Nghĩa,1,Trần Tiến Tự,1,Trịnh Đào Chiến,2,Trung Quốc,12,Trường Đông,19,Trường Hè,7,Trường Thu,1,Trường Xuân,2,TST,55,Tuyên Quang,6,Tuyển Sinh,3,Tuyển Tập,44,Tuymaada,4,Undergraduate,66,USA,44,USAJMO,10,USATST,7,Uzbekistan,1,Vasile Cîrtoaje,4,Vật Lý,1,Viện Toán Học,2,Vietnam,4,Viktor Prasolov,1,VIMF,1,Vinh,27,Vĩnh Long,20,Vĩnh Phúc,63,Virginia Tech,1,VLTT,1,VMEO,4,VMF,12,VMO,46,VNTST,22,Võ Anh Khoa,1,Võ Quốc Bá Cẩn,26,Võ Thành Văn,1,Vojtěch Jarník,6,Vũ Hữu Bình,7,Vương Trung Dũng,1,WFNMC Journal,1,Wiles,1,Yên Bái,17,Yên Định,1,Yên Thành,1,Zhautykov,11,Zhou Yuan Zhe,1,
ltr
item
MOlympiad: Đề Thi Olympic Toán VMEO III
Đề Thi Olympic Toán VMEO III
MOlympiad
https://www.molympiad.net/2017/11/de-thi-olympic-toan-vmeo-iii.html
https://www.molympiad.net/
https://www.molympiad.net/
https://www.molympiad.net/2017/11/de-thi-olympic-toan-vmeo-iii.html
true
2506595080985176441
UTF-8
Loaded All Posts Not found any posts VIEW ALL Readmore Reply Cancel reply Delete By Home PAGES POSTS View All RECOMMENDED FOR YOU LABEL ARCHIVE SEARCH ALL POSTS Not found any post match with your request Back Home Sunday Monday Tuesday Wednesday Thursday Friday Saturday Sun Mon Tue Wed Thu Fri Sat January February March April May June July August September October November December Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec just now 1 minute ago $$1$$ minutes ago 1 hour ago $$1$$ hours ago Yesterday $$1$$ days ago $$1$$ weeks ago more than 5 weeks ago Followers Follow THIS PREMIUM CONTENT IS LOCKED Please share to unlock Copy All Code Select All Code All codes were copied to your clipboard Can not copy the codes / texts, please press [CTRL]+[C] (or CMD+C with Mac) to copy