[Solutions] Nordic Mathematical Contest 2006

1. Points $B,C$ vary on two fixed rays emanating from point $A$ such that $AB+AC$ is constant. Show that there is a point $D$, other than $A$, such that the circumcircle of triangle $ABC$ passes through $D$ for all possible choices of $B, C$.
2. Real numbers $x,y,z$ are not all equal and satisfy $$x+\frac{1}{y} = y + \frac{1}{z} = z + \frac{1}{x}=k.$$ Find all possible values of $k$.
3. A sequence $(a_n)$ of positive integers is defined by $a_0=m$ and $a_{n+1}= a_n^5 +487$ for all $n\ge 0$. Find all positive integers $m$ such that the sequence contains the maximum possible number of perfect squares.
4. Each square of a $100\times 100$ board is painted with one of $100$ different colours, so that each colour is used exactly $100$ times. Show that there exists a row or column of the chessboard in which at least $10$ colours are used.
 MOlympiad.NET là dự án thu thập và phát hành các đề thi tuyển sinh và học sinh giỏi toán. Quý bạn đọc muốn giúp chúng tôi chỉnh sửa đề thi này, xin hãy để lại bình luận facebook (có thể đính kèm hình ảnh) hoặc google (có thể sử dụng $\LaTeX$) bên dưới. BBT rất mong bạn đọc ủng hộ UPLOAD đề thi và đáp án mới hoặc liên hệbbt.molympiad@gmail.comChúng tôi nhận tất cả các định dạng của tài liệu: $\TeX$, PDF, WORD, IMG,...