Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Lớp 12 TP Cần Thơ 2008-2009

1. Giải phương prình sau trên $\mathbb R$ $$x^4 - 6x^2 - 12x - 8 = 0$$
2. Giải hệ phương trình sau trên $\mathbb R$ $$\begin{cases} y^2 - xy + 1 &= 0 \\ x^2 + y^2 +2x + 2y + 1 &= 0 \end{cases}.$$
3. Trong mặt phẳng cho tam giác $ABC$ có $AB = a$, $AC = b$, $\widehat{BAC} = 135^0$, điểm $M$ nằm trên cạnh $BC$ của tam giác sao cho $\widehat{BAM} = 45^0$. Tính độ dài $AM$ theo $a$, $b$.
4. Trong không gian cho hình chóp $S.ABC$, trọng tâm tam giác $ABC$ là $G$, trung điểm $SG$ là $I$. Mặt phẳng $(\alpha)$ qua $I$ cắt các tia $SA$, $SB$, $SC$ lần lượt tại $M$, $N$, $P$ (không trùng với $S$) . Xác định vị trí mặt phẳng $(\alpha)$ để thể tích khối chóp $S.MNP$ là nhỏ nhất.
5. Trong không gian cho hình chóp $S.ABC$, $T$ là điểm thay đổi trong mặt phẳng $ABC$. Đường thẳng qua $T$ song song với đường thẳng $SA$ cắt mặt phẳng $(SBC)$ tại $A'$. Đường thẳng qua $T$ song song với đường thẳng $SB$ cắt mặt phẳng $(SBC)$ tại $B'$. Đường thẳng qua $T$ song song với đường thẳng $SC$ cắt mặt phẳng $(SBC)$ tại $C'$. Mặt phẳng $(A'B'C')$ cắt đường thẳng $ST$ tại điểm $I$. Chứng minh tỷ số $\dfrac{SI}{ST}$ không thay đổi khi điểm $T$ thay đổi trong mặt đáy $ABC$ trong mặt đáy $ABC$ của hình chóp $S.ABC$.
6. Cho đa thức với hệ số thực $$P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d,$$ biết rằng phương trình $P(x) = 0$ không có nghiệm thực. Chứng minh $$F(x) = P(x) + P'(x) + P''(x) + P'''(x) + P^(4) (x) > 0 $$ với mọi số thực $x$.
7. Cho $n$ số thực $a_1,a_2, ... , a_n$ khác $0$, đôi một phân biệt. Chứng minh phương trình $$\sqrt{1+a_1 x} + \sqrt{1+a_2 x} + ... + \sqrt{1+a_n x} = n$$ không có quá hai nghiệm thực phân biệt.
8. Tìm tất cả các nghiệm thực của phương trình $$x^2 + 5x - 10 = \sqrt{60 - 24x - 5x^2}$$
9. Cho các số thực dương $a , b , c$. Chứng minh bất đẳng thức $$\dfrac{( a - b - c )^2}{2a^2 + ( b + c )^2} + \dfrac{( b - c - a )^2}{2b^2 + ( c + a )^2} + \dfrac{( c - a - b )^2}{2c^2 + ( a + b )^2} \ge \dfrac{1}{2}$$
10. Trong mặt phẳng cho tam giác đều $AEF$ và hình chữ nhật $ABCD$. Các đỉnh $E$, $F$ của tam giác đều lần lượt nằm trên các cạnh $BC$, $CD$ của hình chữ nhật $ABCD$. Chứng minh rằng tổng diện tích của hai tam giác $ABE$ và $ADF$ bằng diện tích tam giác $CEF$.
11. Cho hàm số $$f(x) = (x^3 - 3x^2 + 2 )\sqrt{x^2 - 2x + 3}.$$ Chứng minh rằng với mọi số thực $m$, hệ phương trình sau luôn có nghiệm thực $$\begin{cases}f^{(2008)}(x) + f^{(2008)}(y) &= 0 \\ x^2 - my &= 4 - m \end{cases}.$$
12. Cho dãy số thực $( a_n )$ được xác định bởi công thức truy hồi $$a_1 = \dfrac{1}{2},\quad a_{n+1} = \dfrac{a_n^2}{a_n^2 - a_n^2 + 1}.$$ Chứng minh $a_1 + a_2 + ... + a_n \le 1$ với mọi số nguyên dương $n$.
13. Tìm tất cả các cặp số nguyên $( x , y )$ thỏa mãn $$2008x^3 - 3xy^2 + 2008y^3 = 2009 $$