[Đáp Án] Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Lớp 10 Tỉnh Hải Dương 2017-2018

1. a) Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số \[y=\frac{6{{x}^{2}}-4\text{x}+2018}{\sqrt{(m-1){{x}^{2}}+2(m-1)x+4}}\] có tập xác định là $\mathbb{R}$.
   b) Cho hai hàm số $y={{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x-2m$ và $y=2x+3$. Tìm $m$ để đồ thị các hàm số đó cắt nhau tại hai điểm $A$ và $B$ phân biệt sao cho $O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}$nhỏ nhất (trong đó $O$ là gốc tọa độ).
2. a) Giải phương trình $$3\sqrt{5-x}+3\sqrt{5x-4}=2x+7.$$ b) Giải bất phương trình $$\sqrt{11{{x}^{2}}-19x-19}-\sqrt{{{x}^{2}}-x-6}<2\sqrt{2x+1}$$ c) Giải hệ phương trình $$\begin{cases} xy\left( 4xy+y+4 \right)&={{y}^{2}}\left( 2y+5 \right)-1 \\ 2xy\left( x-2y \right)+x-14y&=0 \end{cases}$$
3. a) Cho tam giác $ABC$ có $AB=6$, $BC=7$, $CA=5$. Gọi $M$ là điểm thuộc cạnh $AB$ sao cho $AM=2MB$ và $N$ là điểm thuộc $AC$ sao cho $\overrightarrow{AN}=k\overrightarrow{AC}$ $(k\in \mathbb{R})$. Tìm $k$ sao cho đường thẳng $CM$ vuông góc với đường thẳng $BN$.
   b) Cho tam giác $ABC$ có $BC=a$, $CA=b$, $AB=c$ và $p$ là nửa chu vi của tam giác. Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Biết $$\frac{c(p-a)}{I{{A}^{2}}}+\frac{a(p-b)}{I{{B}^{2}}}+\frac{b(p-c)}{I{{C}^{2}}}=\frac{9}{2}.$$ Chứng minh rằng tam giác $ABC$ đều.
   c) Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho hình chữ nhật $ABCD$ có phương trình đường thẳng $AB$ là $x-2y+1=0$. Biết phương trình đường thẳng $BD$ là $x-7y+14=0$ và đường thẳng $AC$ đi qua điểm $M(2,1)$. Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật.
4. Một xưởng sản xuất có hai máy, sản xuất ra hai loại sản phẩm $I$ và $II$. Một tấn sản phẩm loại $I$ lãi $2$ triệu đồng, một tấn sản phẩm loại $II$ lãi $1,6$ triệu đồng. Để sản xuất $1$ tấn sản phẩm loại $I$ cần máy thứ nhất làm việc trong $3$ giờ và máy thứ hai làm việc trong $1$ giờ. Để sản xuất $1$ tấn sản phẩm loại $II$ cần máy thứ nhất làm việc trong $1$ giờ và máy thứ hai làm việc trong $1$ giờ. Mỗi máy không đồng thời làm hai loại sản phẩm cùng lúc. Một ngày máy thứ nhất làm việc không quá $6$ giờ, máy thứ hai làm việc không quá $4$ giờ. Hỏi một ngày nên sản xuất bao nhiêu tấn mỗi loại sản phẩm để tiền lãi lớn nhất?
5. Chứng minh rằng với mọi số thực $a,b,c$ dương thỏa mãn ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=27$ thì $$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge \frac{12}{{{a}^{2}}+63}+\frac{12}{{{b}^{2}}+63}+\frac{12}{{{c}^{2}}+63}$$

DOWNLOAD ĐÁP ÁN