- Cho hình bát diện đều $T$. Từ một điểm bên ngoài $T$ có thể nhìn thấy nhiều nhất bao nhiêu cạnh của $T$? (Từ điểm $P$ nhìn thấy được cạnh $AB$ nếu giao của $T$ và tam giác không suy biến $PAB$ là đoạn $AB$).
- Cho số thực $x>1$ và số nguyên dương $n$. Chứng minh rằng $$\sum_{k=1}^{n}\frac{\{kx \}}{[kx]}<\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2k-1}.$$
- Cho $S=\{1,2,3,...,2017\}$. Với mọi tập con $A$ của $S$, xác định số thực $f(A)\geq 0$ sao cho:
- Với mọi $A,B\subset S$, $f(A\bigcup B)+f(A\bigcap B)\leq f(A)+f(B)$;
- Với mọi $A\subset B\subset S$, $f(A)\leq f(B)$;
- Với mọi $k,j\in S$, $f(\{1,2,...,k+1\})\geq f(\{1,2,...,k\}\bigcup \{j\})$;
- $f(\varnothing)=0$.
- Tìm tất cả các cặp số nguyên $(m,n)$ sao cho tồn tại hai đa thức monic $P(x)$ và $Q(x)$, với $\deg{P}=m$, $\deg{Q}=n$ và $P(Q(t))\not=Q(P(t))$ $\forall t\in\mathbb{R}$.
- Cho tam giác không cân $ABC$. Gọi $D$ là trung điểm của $BC$, $E$ là trung điểm của $CA$, $F$ là trung điểm của $AB$. Đường thẳng khác $BC$ tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ và qua $D$ cắt $EF$ tại $X$. Các điểm $Y$, $Z$ được xác định tương tự. Chứng minh rằng $X$, $Y$, $Z$ thẳng hàng.
- Với số nguyên dương $n$ và số nguyên tố $p$, tìm giá trị nhỏ nhất của số nguyên dương $m$ thỏa mãn: với mỗi đa thức $$f(x)=(x+a_1)(x+a_2)\cdots (x+a_n)$$ ($a_1,a_2,...,a_n$ là các số nguyên dương) và mỗi số tự nhiên $k$, tồn tại số tự nhiên $k'$ sao cho $$v_p(f(k))<v_p(f(k'))\leq v_p(f(k))+m.$$
- Với mỗi số nguyên dương $n$, gọi $D_n$ là tập tất cả các ước của $n$ và $f(n)$ là số nguyên dương nhỏ nhất $m$ sao cho các phần tử của $D_n$ đôi một khác nhau theo modulo $m$. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $N$ sao cho với mọi $n \geq N$, ta có $f(n) \leq n^{0.01}$.
- 2017 kỹ sư tham gia một hội thảo. Nếu hai kỹ sư nào đó thảo luận với nhau thì họ chỉ dùng tiếng Anh hoặc tiếng Trung và không có hai kỹ sư nào lại thảo luận với nhau hơn một lần. Biết rằng trong mỗi bốn kỹ sư, có một số chẵn cuộc thảo luận giữa hai người trong họ và trong những cuộc thảo luận này các điều kiện sau được thỏa mãn đồng thời:
- Ít nhất một cuộc thảo luận bằng tiếng Anh;
- Hoặc không có cuộc thảo luận nào bằng tiếng Anh hoặc số cuộc thảo luận bằng tiếng Anh lớn hơn hoặc bằng số cuộc thảo luận bằng tiếng Trung.
- Cho tứ giác $ABCD$ và đường thẳng $l$. Biết $l$ cắt các đường thẳng $AB$, $CD$, $BC$, $DA$, $AC$, $BD$ lần lượt tại $X$, $X'$, $Y$, $Y'$, $Z$, $Z'$ và sáu điểm này nằm trên $l$ theo thứ tự $X$, $Y$, $Z$, $X'$, $Y'$, $Z'$. Chứng minh rằng các đường tròn với đường kính $XX'$, $YY'$, $ZZ'$ đồng trục.
- Cho số nguyên $n>1$. Tìm số nguyên dương $m$ nhỏ nhất thỏa mãn: với mọi tập $\{a,b\}\subset \{1,2,\cdots,2n-1\}$, tồn tại các số tự nhiên $x,y$ không đồng thời bằng 0 sao cho $2n|ax+by$ và $x+y\leq m$.
- Cho $\varphi(x)$ là một đa thức bậc ba với hệ số nguyên. Biết $\varphi(x)$ có ba nghiệm thực phân biệt $u,v,w$ sao cho $u,v,w$ không phải số hữu tỷ và có các số nguyên $a,b,c$ thỏa mãn $u=av^2+bv+c$. Chứng minh rằng $b^2 -2b -4ac - 7$ là số chính phương.
- Cho $M$ là một tập con của $\mathbb{R}$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
- Với mọi $x \in M$, $n \in \mathbb{Z}$, ta có $x+n \in M$.
- Với mọi $x \in M$, ta có $-x \in M$.
- $M$ và $\mathbb{R}\setminus M$ chứa một khoảng có độ dài lớn hơn 0.
- Cho số nguyên $n \geq 4$. Xét các số thực không âm $x_1,\ldots,x_n$ thỏa mãn $x_1 + \cdots + x_n = 1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$T=x_1x_2x_3 + x_2x_3x_4 + \cdots + x_nx_1x_2.$$
- Cho $ABCD$ là tứ giác lồi không nội tiếp. Gọi hình chiếu vuông góc của $A$ trên $BC$, $BD$, $CD$ là $P$, $Q$, $R$ tương ứng, ở đây $P$, $Q$ nằm trên cạnh $BC$, $BD$ còn $R$ nằm ngoài cạnh $CD$. Gọi hình chiếu vuông góc của $D$ trên $AC$, $BC$, $AB$ là $X$, $Y$, $Z$ tương ứng, ở đây $X$, $Y$ nằm trên cạnh $AC$, $BC$ còn $Z$ nằm ngoài cạnh $BA$. Gọi trực tâm của tam giác $ABD$ là $H$. Chứng minh rằng dây chung của hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác $PQR$ và $XYZ$ chia đôi $BH$.
- Cho $X$ là tập có $100$ phần tử. Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất thỏa mãn: với mỗi dãy $n$ tập con của $X$, $A_1, A_2,\ldots,A_n$, tồn tại $1 \leq i < j < k \leq n$ sao cho $A_i \subseteq A_j \subseteq A_k$ hoặc $A_i \supseteq A_j \supseteq A_k$.
- Chứng minh rằng tồn tại đa thức $$P(x) = x^{58} + a_1x^{57} + \cdots + a_{58}$$ sao cho nó có đúng $29$ nghiệm thực dương, có đúng $29$ nghiệm thực âm và $\log_{2017} |a_i|$ là số nguyên dương với mọi $1 \leq i \leq 58$.
- Chứng minh rằng tồn tại số thực $C>0$ sao cho với mỗi hai số nguyên dương $H$, $N$ thỏa mãn $H \geq 3$, $N \geq e^{CH}$, với mỗi tập con của $\{1,2,\ldots,N\}$ có số phần tử bằng $\lceil \frac{CHN}{\ln N} \rceil$, ta có thể tìm $H$ số trong nó sao cho ước chung lớn nhất của mỗi hai phần tử là ước chung lớn nhất của tất cả $H$ phần tử.
- Mỗi ô vuông con của bảng ô vuông cỡ $2017\times 2017$ được tô một trong hai màu đen hay trắng sao cho mỗi ô kề với ít nhất một ô cùng màu với nó. Gọi $V_1$ là tập tất cả các ô đen, $V_2$ là tập tất cả các ô trắng. Với $V_i$, $(i=1,2)$, nếu hai ô trong nó kề nhau thì ta vẽ đoạn thẳng nối hai tâm của ô, ta được Graph $G_i$. Chứng minh rẳng nếu cả hai $G_1$ và $G_2$ liên thông và không có chu trình thì tâm của bảng không phải là đỉnh cô lập của $G_1$ hoặc $G_2$.
- Chứng minh rằng $$\sum_{k=0}^{58}C_{2017+k}^{58-k}C_{2075-k}^{k}=\sum_{p=0}^{29}C_{4091-2p}^{58-2p}.$$
- Cho tam giác $ABC$, đường tròn bàng tiếp góc $\angle A$ tiếp xúc với cạnh $BC$, đường thẳng $AB$ và $AC$ lần lượt tại $E$, $D$, $F$. $EZ$ là đường kính của đường tròn. $B_1$ và $C_1$ thuộc $DF$ sao cho $BB_1\perp{BC}$, $CC_1\perp{BC}$. Đường thẳng $ZB_1$, $ZC_1$ cắt $BC$ tại $X$, $Y$ tương ứng. $EZ$ cắt $DF$ tại $H$, $ZK$ vuông góc với $FD$ tại $K$. Chứng minh rằng nếu $H$ là trực tâm của tam giác $XYZ$ thì $H$, $K$, $X$, $Y$ cùng nằm trên một đường tròn.
- Tìm số các bộ $(x_1,...,x_{100})$ thỏa mãn đồng thời ba điều kiện $$x_1,...,x_{100}\in\{1,2,..,2017\},\,2017|x_1+...+x_{100},\,2017|x_1^2+...+x_{100}^2.$$
- Cho các số nguyên $d>1$, $m$. Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên $k>l>0$ sao cho $$(2^{2^k}+d,2^{2^l}+d)>m.$$
- Cho số nguyên $m\geq2$ và các số thực không âm $x_1,...,x_m$. Chứng minh rằng $$(m-1)^{m-1}(x_1^m+\cdots+x_m^m)\geq(x_1+\cdots+x_m)^m-m^mx_1\cdots x_m.$$ Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?.
- Một mặt phẳng không chứa đỉnh nào của một thập nhị diện đều. Hỏi mặt phẳng có thể cắt nhiều nhất bao nhiêu cạnh của thập nhị diện đều đó?.
- Cho số nguyên $n\ge 3$. Xét dãy $a_1,a_2,...,a_n$, nếu $(a_i,a_j,a_k)$ thỏa mãn $i+k=2j$, $(i<j<k)$ và $a_i+a_k\ne 2a_j$ ta nói nó là tốt. Nếu một dãy chứa ít nhất một bộ ba tốt thì nó chứa ít nhất bao nhiêu bộ ba tốt?.
- Tìm số nguyên dương $m$ nhỏ nhất có tính chất: với mỗi đa thức $f(x)$ hệ số thực, tồn tại đa thức $g(x)$ hệ số thực có bậc không lớn hơn $m$ sao cho tồn tại $2017$ số khác nhau $a_1,a_2,...,a_{2017}$ thỏa mãn $g(a_i)=f(a_{i+1})$ với mọi $i=1,2,...,2017$. Ở đây chỉ số lấy theo modulo $2017$.
- Với một điểm hữu tỷ $(x,y)$, nếu $xy$ là số nguyên chia hết cho $2$ nhưng không chia hết cho $3$ ta tô nó màu đỏ, nếu $xy$ là số nguyên chia hết cho $3$ nhưng không chia hết cho $2$ ta tô nó màu xanh. Tồn tại hay không một đoạn thẳng chứa đúng $2017$ điểm xanh và đúng $58$ điểm đỏ?.
- Cho một đường tròn bán kính $1$, hai điểm $C$, $D$ trên nó và hằng số $l$ thỏa mãn $0<l\le 2$. Một dây $AB$ dài $1$ của đường tròn di chuyển sao cho $ABCD$ là tứ giác lồi. $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $P$. Tìm tập hợp tâm các đường tròn $(ABP)$ và $(BCP)$.
- Cho $A(x,y)$, $B(x,y)$, và $C(x,y)$ là ba đa thức thuần nhất với hệ số thực và có bậc lần lượt là $2$, $3$, và $4$. Biết rằng tồn tại đa thức $R(x,y)$ với hệ số thực sao cho $$B(x,y)^2-4A(x,y)C(x,y)=-R(x,y)^2.$$ Chứng minh rằng tồn tại hai đa thức $F(x,y,z)$ và $G(x,y,z)$ sao cho $$F(x,y,z)^2+G(x,y,z)^2=A(x,y)z^2+B(x,y)z+C(x,y)$$ với mỗi $x, y, z$ là các số thực thỏa mãn $A(x,y)z^2+B(x,y)z+C(x,y)\ge 0$.
- Một graph với $n$ đỉnh được gọi là $k$-tốt nếu nó thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
- Có thể đặt $1$ quân xe lên mỗi đỉnh sao cho hai quân xe kề nhau có màu khác nhau.
- Tồn tại chu trình Hamilton $v_1,v_2,\cdots,v_n$ sao cho sau khi di chuyển quân xe trên $v_i$ sang $v_{i+1}$ với mọi $i$ thì hai quân xe bất kỳ kề nhau vẫn có màu khác nhau.
- Sau hữu hạn lần thực hiện thao tác thứ hai, mỗi quân xe có thể đến mỗi đỉnh.
Đề Thi Chọn Đội Tuyển Toán Trung Quốc Tham Dự IMO 2017
This article has views, Facebook comments and
0 Blogger comments.
Leave a comment.