[Đáp Án] Đề Thi Chọn Đội Tuyển Tỉnh Nam Định Dự Thi Học Sinh Giỏi Quốc Gia THPT 2017-2018

1. Giải hệ phương trình $$\begin{cases} 2y^{3}+7y+2x\sqrt{1-x} &= 3\sqrt{1-x}+3(2y^{2}+1) \\ \sqrt{2y^{2}-4y+3} &= 5-y+\sqrt{x+4} \end{cases}.$$
2. Cho dãy số $(x_{n})$ được xác định bởi $$x_{1}= 4,\quad x_{n+1}= \frac{x_{n}^{4}+9}{x_{n}^{3}-x_{n}+6},\ \forall n \in \mathbb{N^{*}}.$$ a) Chứng minh rằng $\displaystyle\lim_{n\to\infty} x_{n}= +\infty$.
   b) Với mỗi số nguyên dương $n$, đặt $\displaystyle{y_{n}= \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x_{k}^{3}+3}}$. Tìm $\lim y_{n}$.
3. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Đường tròn $(J)$ qua $B, C$ cắt cạnh $AB$ và $AC$ tại $F$ và $E$ tương ứng. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai là $D$.
   a) Gọi $P$ và $Q$ là giao điểm thứ hai của $DE$ và $DF$ với $(O)$. Chứng minh các đường thẳng $PC$, $BQ$ và $AO$ đồng quy.
   b) Giả sử $EF$ cắt $BC$ ở $K$. Gọi $O_{1}$, $O_{2}$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AEF$ và tam giác $KFB$. Chứng minh trực tâm tam giác $O_{1}O_{2}O$ nằm trên $AB$.
4. Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R^{+}}\rightarrow \mathbb{R^{+}}$ thỏa mãn $$f(y)f(x+f(y))= f(x)f(xy), \forall x,y \in \mathbb{R^{+}}.$$
5. Cho đa giác đều $A_{1}A_{2}...A_{2017}$. Có bao nhiêu tam giác nhọn có đỉnh là đỉnh của đa giác trên?.
   
6. Cho $2n+3$ điểm phân biệt trên mặt phẳng sao cho $3$ điểm bất kì không thẳng hàng và $4$ điểm bất kì không cùng nằm trên một đường tròn.
   a) Chứng minh tồn tại đường tròn $(C)$ đi qua $3$ trong số các điểm trên sao cho trong các điểm còn lại có $n$ điểm nằm trong và $n$ điểm nằm ngoài đường tròn.
   b) Xét $2n$ điểm đã cho và không thuộc đường tròn $(C)$, nối tất cả các đoạn thẳng có đầu mút là $2$ trong số các điểm này. Các đoạn thẳng này và đường tròn $(C)$ có thể có nhiều nhất bao nhiêu điểm chung?
7. Xét các số thực $a, b, c \in [0; 1]$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$P= \frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{c+a+1}+\frac{c}{a+b+1}+(1-a)(1-b)(1-c)$$
8. Cho dãy đa thức $(P_{n})_{n=0}^{+ \infty }$ được xác định $$P_{0}(x)= x,\quad P_{n+1}(x)= -2xP_{n}(x)+ P_{n}^{'}(x), \forall n \in \mathbb{N^{*}}.$$ a) Chứng minh $P_{n}^{'}(x)= -2(n+1)P_{n-1}(x)$ với mọi số nguyên dương $n$;
   b) Tính $P_{2017}(0)$.
9. Cho hai điểm cố định $B$, $C$ trên đường tròn $(O)$. Một điểm $A$ thay đổi trên đường tròn $(O)$ sao cho tam giác $ABC$ luôn là tam giác nhọn và không cân tại $A$. Đường phân giác trong góc $\widehat{BAC}$ cắt đường thẳng $BC$ tại $D$ và cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai là $E$. Điểm $F$ nằm trên $BC$ sao cho $FD= FE$.
   a) Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $EF$. Chứng minh rằng $A$, $O$, $H$ thẳng hàng, từ đó suy ra $H$ luôn thuộc một đường tròn cố định.
   b) Một đường tròn tâm $I$ tiếp xúc với các tia $AB$, $AC$ và tiếp xúc với đường thằng $EF$ tương ứng tại $M$, $N$, $P$ ($I$ và $A$ nằm về cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $EF$). Gọi $Q$ là điểm trên đường thẳng $MN$ sao cho $PQ$ vuông góc với $EF$. Chứng minh rằng đường thẳng $AQ$ luôn đi qua một điểm cố định khi $A$ di động trên đường tròn $(O)$.
10. Cho $a, b$ là hai số thực thỏa mãn $a^{p}- b^{p}$ là số nguyên dương với mỗi số nguyên tố $p$. Chứng minh rằng $a$, $b$ là các số nguyên.
11. a) Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho $101$ điểm $A_{k}(k;100)$, $k= 0,1,...,100$. Tìm số đoạn thẳng $OA_{k}$ không đi qua điểm nào có tọa độ nguyên (cả hoành độ và tung độ đều nguyên) trừ 2 đầu mút của nó.
    b) Cho đa giác lồi có lẻ đỉnh. Mỗi cạnh được tô bởi $1$ trong $3$ màu: đỏ, xanh, vàng. Giả sử ban đầu các màu được tô cho các cạnh theo chiều kim đồng hồ là đỏ, xanh, đỏ,..., đỏ, xanh, vàng. Mỗi bước có thể đổi màu $1$ cạnh sao cho không có $2$ cạnh kề nhau (chung đỉnh) được tô cùng màu. Hỏi sau hữu hạn bước có thể nhận được trạng thái mà màu được tô cho các cạnh theo chiều kim đồng hồ là đỏ, xanh, đỏ, xanh,..., đỏ, vàng, xanh hay không?.