[Đáp Án] Đề Thi Chọn Đội Tuyển PTNK TP Hồ Chí Minh Dự Thi Học Sinh Giỏi Quốc Gia THPT 2017-2018

1. Cho dãy số $(u_n)$ thỏa $u_n > 0$, $u_n > u_{n+1}$, $\forall n \in\mathbb N^*$ và dãy $(s_n)$ hội tụ với $\displaystyle s_n =\sum_{i=1}^n u_i$.
   a) Chứng minh $\displaystyle \lim_{n\to\infty}nu_n = 0$.
   b) Đặt $\displaystyle b_n = \dfrac{1}{u_{n+1}}-\dfrac{1}{u_n}$, $\forall n\in\mathbb N^*$. Chứng minh dãy $(b_n)$ không bị chặn.
2. Gọi $S$ là tập con của $\{1, 2, . . . , 2017\}$ sao cho $S$ không chứa hai phần tử mà phần tử này chia hết cho phần tử kia và cũng không chứa hai phần tử nguyên tố cùng nhau. Hỏi $S$ chứa nhiều nhất bao nhiêu phần tử?
3. Cho $n$ là số tự nhiên lớn hơn $2$ và $X = \{1, 2, 3, . . . , n\}$. Với mỗi song ánh $f : X \to X$, gọi $A_f$ là tập hợp tất cả các bộ số $(i; j)$ sao cho $i < j$ và $f(i) > f(j)$. Ký hiệu $|X|$ chỉ số phần tử của tập hợp $X$.
   a) Có bao nhiêu song ánh $f$ thỏa $|Af | = 1$?.
   b) Giả sử $f$ là một song ánh mà $A_f = k > 0$. Chứng minh rằng tồn tại một song ánh $g : X \to X$ sao cho $|A_g| = k − 1$ và $$\sum_{i=1}^n |f (i) − i| > \sum_{i=1}^n |g (i) − i|.$$
4. Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$ và điểm $D$ di động trên cung $BC$ chứa điểm $A$ $(D\ne A)$. Trên $AB$, $AC$ lần lượt lấy các điểm $M$, $N$ sao cho $MD = MB$, $NC = ND$.
   a) Chứng minh đường cao $DH$ trong tam giác $DMN$ luôn đi qua một điểm cố định.
   b) $DM$, $DN$ theo thứ tự cắt $(O)$ tại $E$, $F$ ($E$, $F$ khác $D$). Chứng minh các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $EMB$, $FNC$ cắt nhau tại điểm $K$ thuộc đường thẳng $BC$ và đường cao $KI$ của tam giác $KMN$ luôn qua một điểm cố định.
5. Với mỗi số nguyên $n \notin \{−1, 0, 1\}$, ký hiệu $p(n)$ là ước nguyên tố lớn nhất của $n$. Gọi $F$ là tập hợp tất cả các đa thức $f(x$) có hệ số nguyên và thỏa mãn $$f(n + p(n)) = n + p(f(n))$$ với mọi số nguyên $n > 2017$ và $f(n) \notin \{− 1, 0, 1\}$.
   a) Tìm tất cả các đa thức bậc nhất thuộc $F$.
   b) $F$ có bao nhiêu phần tử.
6. Với mỗi số tự nhiên $n$, ký hiệu $T(1 + n, 3 + n, 4 + n)$ là tập hợp tất cả các bộ $(a, b, c)$ với $a$, $b$, $c$ là các số tự nhiên thỏa $1 \leq a \leq 1 + n$, $a + 1 \leq b \leq 3 + n$, $b + 1 \leq c \leq 4 + n$. Gọi $a_n$ là số phần tử của $T(1 + n, 3 + n, 4 + n)$.
   a) Tính $a_4$.
   b) Tìm tất cả $n$ sao cho $a_n$ chia hết cho $3$.
7. An và Bình luân phiên đánh dấu các ô vuông của hình vuông $101 \times 101$ ô. An là người bắt đầu. Một ô sẽ không thể được đánh dấu nếu trên cùng hàng với nó hoặc cùng cột với nó đã có ít nhất $2$ ô được đánh dấu. Ai không đi được nữa sẽ thua. Hãy xác định ai là người có chiến thuật thắng.
8. Đường tròn $(O)$ nội tiếp tứ giác $ABCD$ và tiếp xúc với các cạnh $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ lần lượt tại $E$, $F$, $G$, $H$. Gọi $I$, $J$ là trung điểm của $AC$, $BD$ và $IB$, $ID$, $JA$, $JC$ theo thứ tự cắt $EF$, $GH$, $HE$, $FG$ tại $M$, $N$, $P$, $Q$.
   a) Chứng minh rằng $IJ$, $MN$, $PQ$ đồng quy (tại điểm $S$).
   b) Các tia đối của các tia $JA$, $IB$, $JC$, $ID$ lần lượt cắt $(O)$ tại các điểm $A'$, $B'$, $C'$, $D'$. Giả sử $A'C$, $B'D'$ lần lượt cắt $PQ$, $MN$ tại $U$, $V$. Gọi $K$ là hình chiếu của $S$ trên $UV$. Chứng minh rằng $\angle AKB = \angle CKD$..

[DOWNLOAD ĐÁP ÁN ##download##]