[Nguyễn Hữu Điển] Giải Yoán Bằng Phương Pháp Đại Lượng Bất Biến

Cuốn sách được đặt tên là Phương pháp đại lượng bất biến, đây là mong muốn của tác giả muốn biên soạn một loạt các phương pháp toán học trong học tập và nghiên cứu. Người xưa làm ra Binh pháp để áp dụng và giải quyết những cuộc chiến tranh, điển hình nhất là bộ Binh pháp của Tôn tử và bộ Binh pháp của Tôn Tẫn trong từng thời kì mà hai soạn giả trên đã trải nghiệm qua và áp dụng vào thực tiễn. Như ta đã biết Binh pháp chỉ cần có 36 mưu kế mà hoá giải được hầu hết các tình thế của các cuộc chiến tranh đặt ra. Đặc biệt người nắm được Binh pháp và áp dụng nó vào thực tế như thế nào là một vấn đề sáng tạo của từng người và từng thời đại. Có thể nói các phương pháp giải toán là những mưu kế trong khi giải bài tập toán. Tác giả cuốn sách mạo muội biên soạn những phương pháp giải toán và học toán cũng hi vọng thành bộ Toán pháp cho mình và các bạn tham khảo. Rất nhiều vấn đề trong cách giải toán và học toán có thể tổng kết lại, tác giả đã sưu tầm và chọn lọc những phương pháp đặc trưng nhất, những bài tập hay và có mức khái quát cao mang nội dung toán học cơ bản và sâu sắc. Bạn đọc tìm thấy phần nào các phương pháp hóa giải các bài tập hoặc một cách nhìn trong học tập cũng như thực hành tự mình giải bài tập.

Cùng với những cuốn sách của tác giả đã được xuất bản, cuốn sách này quan tâm tới 5 vấn đề, mỗi vấn đề được gói gọn trong một chương và là một phương pháp giải áp dụng đại lượng bất biến. Mỗi chương tương đối độc lập với nhau, sau mỗi tiết nhỏ trong chủ đề là một vấn đề được đặt ra và có ví dụ minh hoạ, sau đó là bài tập áp dụng những tư tưởng của tiết.

Mỗi chương có những tiết đặc trưng khác nhau. Đặc biệt phần cuối mỗi chương là một chuyên đề hay thể hiện sử dụng phương pháp của chương đó, mỗi vấn đề ở đây có thể phát triển thành nội dung một buổi nói chuyện ngoại khóa. Những bài tập được áp dụng cách giải của các bài mẫu nên không có giải chi tiết.

Chỉ có hai chương có hướng dẫn và gợi ý của bài tập trong cả chuyên đề. Nội dung của mỗi chuyên đề được tóm tắt như sau:

1. Chương 1: Nguyên lí bất biến. Nhiều bài toán cho biết thực hiện một số thao tác trên một hệ đối tượng nào đó như các số, quân bài, quân cờ hoặc những biến đã cho. Tuy bài toán có phức tạp nhưng ẩn chứa những đại lượng bất biến như tính chẵn lẻ hoặc tổng, tích của các biến không thay đổi. Nhờ phát hiện ra hoặc cố tình đưa ra những biến có tính chất bất biến hoặc đơn điệu bất biến, nhờ vào những dữ kiện bất biến đưa ta đến kết luận của bài toán. Những bài toán của chương này là dựa vào các tính chất số học, bài toán cũng mang tính các bài tập số học. Chuyên đề là thiết lập các hàm bất biến và ứng dụng của nó.
2. Chương 2: Đa thức đối xứng hai biến. Tính bất biến thể hiện rõ việc định nghĩa những đa thức đối xứng: Một đa thức hai biến gọi là đối xứng nếu ta thay đổi vai trò và vị trí giữa hai biến cho nhau, giá trị của đa thức không thay đổi. Từ định nghĩa trên ta chứng minh được mọi đa thức đối xứng hai biến đều biểu diễn như đa thức của các đa thức đối xứng cơ sở, mà các đa thức đối xứng cơ sở liên quan đến công thức nghiệm của Viète Francois Viète (1540-1603): Nhà toán học người Pháp. Từ đó áp dụng đa thức cho hàng loạt các vấn đề trong đại số sơ cấp như giải hệ phương trình với mỗi vế của các phương trình là những đa thức đối xứng; phân tích đa thức ra thừa số; giải phương trình bằng cách đặt ẩn số phụ; giải phương trình với hệ số đối xứng, … Chuyên đề là một lớp bài toán đa thức bậc cao có các hệ số đối xứng, ứng dụng chuyên đề giải phương trình bậc cao bằng cách hạ bậc.
3. Chương 3: Bất đẳng thức của các dãy số đồng thứ tự. Khi chứng minh bất đẳng thức thì vai trò các biến hoặc các biến số tham gia trong bất đẳng thức ngang nhau. Nhiều khi sự chuyển đổi vai trò và vị trí giữa các biến cho nhau thì bất đẳng thức vẫn không thay đổi, do đó ta cho rằng những biến số này được xếp theo một thứ tự nào đó và nhờ thêm điều kiện được sắp mà chứng minh được bất đẳng thức dễ dàng hơn. Trong chủ đề này ta xét bất đẳng thức được tạo bởi hai bộ số có sắp xếp theo một thứ tự đã biết, đây là bất đẳng thức về tổng các cặp số trong hai bộ số được sắp xếp tối ưu nhất. Từ định lí cơ bản của chuyên đề, ta có thể chứng minh bất đẳng thức Cauchy và nhiều ứng dụng khác. Chuyên đề là một bất đẳng thức rất tổng quát, có thể nhận được các bất đẳng thức nổi tiếng khác. Kết quả của chuyên đề là các bạn có thể sáng tạo ra rất nhiều bất đẳng thức mới và rất đẹp.
4. Chương 4: Phương trình hàm. Để giải một phương trình hàm, người ta thường thay đổi giá trị của đối số để nhận được những phương trình thích hợp rồi suy ra hàm phải tìm. Với những giá trị khác nhau, đẳng thức của phương trình hàm không đổi, hoặc bất biến, ta đưa ra phương pháp thế các giá trị. Phương pháp thứ hai để giải phương trình hàm là phương pháp điểm bất động. Chuyên đề là những đa thức giao hoán, cách tìm những đa thức giao hoán.
5. Chương 5: Những trò chơi toán học. Một số bài toán trò chơi tìm kiếm những chiến thuật thắng và hoà của người chơi cũng đều dựa vào tính bất biến của những điều kiện đã cho. Tìm kiếm một lời giải cho bài toán trò chơi là một việc rất khó, người ta thường phát hiện ra những biến đơn điệu bất biến, nghĩa là có tăng hoặc giảm một đại lượng nào đó theo một quy luật cố định. Nhiều bài thi học sinh giỏi rất hay ra ở các nước, vì nó đòi hỏi học sinh suy luận một cách logic và thông minh. Chuyên đề là các chiến thuật trong trò chơi Nim, một trò chơi xuất xứ từ Trung Quốc. Trò chơi được phân tích kĩ và chỉ ra bước đi để cho kết quả thắng.

Nhiều bài tập đã được lựa chọn từ nhiều nguồn khác nhau, việc giải ví dụ và bài tập nhằm mô tả tốt phương pháp đã đặt ra, còn những cách chứng minh khác có thể có và hay hơn tác giả đã bỏ qua (ví dụ như bất đẳng thức Cauchy). Cuốn sách dành cho học sinh phổ thông yêu toán, học sinh khá giỏi môn toán, các thầy cô giáo, sinh viên đại học ngành toán, ngành tin học và những người yêu thích toán học phổ thông.

DOWNLOAd