[Đáp Án] Đề Thi Tuyển Sinh Lớp 10 THPT Chuyên Sư Phạm TP Hà Nội 2017-2018 (Vòng 1)

1. Cho $a,b>0$, $a\neq b$, $a+b\neq a^{2}$ và biểu thức $$P=\dfrac{a^{3}-a-2b-\dfrac{b^{2}}{a}}{\left ( 1-\sqrt{\dfrac{1}{a}+\dfrac{b}{a^{2}}} \right )\left ( a+\sqrt{a+b} \right )}:\left ( \dfrac{a^{3}+a^{2}+ab+a^{2}b}{a^{2}-b^{2}}+\dfrac{b}{a-b} \right ).$$ a) Chứng minh $P=a-b$.
   b) Tìm $a,b$ biết $P=1$ và $a^{3}-b^{3}=7$
2. Giả sử $x,y$ thực phân biệt thỏa mãn $\dfrac{1}{x^{2}+1}+\dfrac{1}{y^{2}+1}=\dfrac{2}{xy+1}$. Tính $$S=\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+1}+\frac{2}{xy+1}.$$
3. Cho Parabol $(P):y=x^{2}$ và đường thẳng $(d) :y=-2ax-4a$ với $a$ là tham số.
   a) Tìm tọa độ $\left ( d \right )\cap \left ( P \right )$ khi $a=-\frac{1}{2}$.
   b) Tìm $a$ sao cho $\left ( d \right )\cap \left ( P \right )$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_{1}$, $x_{2}$ sao cho $\left | x_{1} \right |+\left | x_{2} \right |=3$
4. Anh Nam đi xe đạp từ $A$ đến $C$. Trên $AB$ ban đầu với $B$ giữa $A,C$. Nam đi với vận tốc không đổi $a\mathrm{(km/h)}$. Thời gian đi là $1,5\mathrm{(h)}$. Trên $BC$, Nam đi với vận tốc tại thời điểm $t$ kể từ $B$ là $v=-8t+a$. Quãng đường đi từ $B$ đến thời điểm $t$ đó là $S=-4t^{2}+at$. Tính $AB$ biết đến $C$ xe dừng hẳn và $BC=16$ km.
5. Cho $(O,R)$ ngoại tiếp tam giác nhọn $ABC$. Tiếp tuyến của đường tròn tại $B$, $C$ cắt nhau tại $P$. $PD\bot AB$, $PE\bot AC$. $M$ là trung điểm $BC$.
   a) Chứng minh $\widehat{MEP}=\widehat{MDP}$.
   b) Giả sử $B$, $C$ cố định, $A$ chạy trên $(O)$ sao cho $\triangle ABC$ luôn nhọn. Chứng minh $DE$ đi qua điểm cố định.
   c) Khi $\triangle ABC$ đều. Tính $S_{ADE}$ theo $R$.
6. Cho $x_{1},x_{2},...,x_{9}\in \mathbb{R}$ không âm thỏa mãn $$\begin{cases} x_{1}+x_{2}+...+x_{9}&=10 & \\ x_{1}+2x_{2}+...+9x_{9}&=18 & \end{cases}.$$ Chứng minh $$1.19x_{1}+2.18x_{2}+...+9.11x_{9}\geq 270.$$ Đẳng thức xảy ra khi nào?.

DOWNLOAD ĐÁP ÁN