Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Lớp 9 Tỉnh Gia Lai 2014-2015

1. a) Tìm nghiệm nguyên tố của phương trình $$x^2-2y^2=1.$$ b) Xét dãy các số nguyên sau $1;2;4;-1;7;-4;...$. Trong đó kể từ số hạng thứ tư trở đi, mỗi số hạng sẽ được tính theo ba số hạng liền trước nó như sau: tổng của số hạng thứ nhất và thứ hai trừ đi số hạng thứ ba. Hãy tính số hạng thứ $2015$ của dãy trên.
2. Cho các số dương $a,b,c$ có tổng bằng $3$. Chứng minh rằng $$\frac{a^2+6a+9}{a^2-2a+3}+\frac{b^2+6b+9}{b^2-2b+3}+\frac{c^2+6c+9}{c^2-2c+3}\leq 24$$
3. Giải hệ phương trình $$\begin{cases} 2x^2+3y^2 &=y \\ 3x^2+y^2 &=x \end{cases}.$$
4. Phép toán $*$ được định nghĩa như sau $$a*b=ab+3a-b.$$ a) Kiểm tra tính chất giao hoán và kết hợp của phép toán $*$.
   b) Tìm giá trị nhỏ nhất của số thực dương $m$ để phương trình sau có hai nghiệm $$(x*x)*m=-m-2015$$
5. a) Cho tam giác nhọn $ABC$ có trực tâm $H$ bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng $R$ và $\widehat{BAC}=\alpha$. Tính độ dài $BC$ và $AH$ theo $R$ và $\alpha$.
   b) Cho tam giác nhọn $ABC$ có $AB<AC$ và nội tiếp trong đường tròn tâm $O$. Kẻ đường cao $AD$ và đường kính $AA'$. Gọi $E$ là chân đường vuông góc kẻ từ $B$ xuống đường kính $AA'$ và $M$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh $MD=ME$
6. a) Mỗi ô của bàn cờ hình chữ nhật có ô được sơn màu đỏ hoặc màu xanh. Chứng minh rằng với mỗi cách sơn màu bàn cờ bất kì, trong bàn cờ luôn tồn tại một hình chữ nhật mà các ô ở góc của nó là các ô cùng màu.
   b) Hai phụ nữ An, Chi và hai người đàn ông Bình, Danh là các vận động viên. Một người là vận động viên bơi lội, người thứ hai là vận động viên trượt băng, người thứ ba là vận động viên thể dục dụng cụ và người thứ tư là vận động viên cầu lông. Có một ngày nọ họ ngồi xung quanh một cái bàn vuông (mỗi người ngồi một cạnh). Biết rằng
   
   • Chi và Danh ngồi cạnh nhau.
   • Vận động viên thể dục dụng cụ ngồi đối diện Bình.
   • Vận động viên bơi lội ngồi bên trái An.
   • Một phụ nữ ngồi bên trái vận động viên trượt băng.
   Hãy cho biết mỗi người là vận động viên chơi môn gì?.