Đề Thi Chọn Đội Tuyển Toán Trung Quốc Tham Dự IMO 2012

1. Cho các số phức $x_i,y_i,i=1...n$ thoả $|x_i|=|y_i|=1$. Đặt $$x=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i,\quad y=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i,\quad z_i=xy_i+yx_i-x_iy_i.$$ Chứng minh rằng $$\sum_{i=1}^n|z_i|\leq n.$$
2. Cho tam giác $ABC$ không đều, đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc với các cạnh $BC,CA,AB$ lần lượt tại $A_1,B_1,C_1$. Gọi $A_2$ đối xứng với $A_1$ qua $B_1C_1$, $B_2$ đối xứng với $B_1$ qua $C_1A_1$, $C_2$ đối xứng với $C_1$ qua $A_1B_1$. Gọi $ A{A_{2}}\cap BC ={A_{3}} $, $ B{B_{2}}\cap CA ={B_{3}} $, $ C{C_{2}}\cap AB ={C_{3}} $. Chứng minh rằng $ {A_{3}},{B_{3}},{C_{3}} $ thẳng hàng.
3. Đặt $x_n=C_{2n}^n$. Chứng minh rằng tồn tại vô hạn các tập hợp hữu hạn $A,B$ gồm các số nguyên dương sao cho $A\cap B =\emptyset$ và $$\frac{{\prod\limits_{i\in A}{{x_{i}}}}}{{\prod\limits_{j\in B}{{x_{j}}}}}= 2012.$$
4. Cho hai đường tròn $\omega_1,\omega_2$, Gọi $S$ là tập hợp tất cả các tam giác $ABC$ sao cho $\omega_1$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ và $\omega_2$ là đường tròn bàng tiếp góc $A$ của tam giác $ABC$ tiếp xúc với các cạnh $AB, BC, CA$ lần lượt tại $D,E,F$. Giả sử $S$ khác rỗng, chứng minh rằng trọng tâm tam giác $DEF$ cố định.
5. Với mỗi $n$, kí hiệu $\tau (n)$ là số ước số của $n$. Một số nguyên dương được gọi là tốt nếu $\tau (m)<\tau (n)$ với mọi $0<m<n$. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $k$ chỉ tồn tại hữu hạn số nguyên dương tốt không chia hết cho $k$.
6. Với mỗi số nguyên dương $n$, tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ sao cho $$f(x+y+f(y))=f(x)+ny,\forall x,y\in\mathbb{Z}.$$
7. Cho $G$ là một đồ thị đơn. Một nhóm gồm $t$ đỉnh mà các cạnh đôi một nối với nhau được gọi là $t$-nhóm và một đỉnh được gọi là đỉnh trung tâm nếu nó được nối với tất cả các đỉnh còn lại. Cho $n,k$ là hai số nguyên dương thoả $\dfrac{3}{2}\leq\dfrac{n}{2}<k<n$ và $G$ có $n$ đỉnh thoả các điều kiện sau
   
   • $G$ không có $k+1$-nhóm nào.
   • Nếu thêm vào bất kỳ một đường nối giữa hai điểm thì ta được một $k+1$-nhóm.
   Tìm số điểm trung tâm ít nhất có thể của $G$.
8. Chứng minh rằng tồn tại số thực $C$ sao cho: Với mọi số nguyên dương $n\geq 2$ và với mọi tập con $X$ không ít hơn hai phần tử của tập $\{1,2,...,n\}$, luôn tồn tại $x,y,z,t\in X$ (không nhất thiết phân biệt) sao cho $$0<|xy-zt|<C\left(\dfrac{n}{|X|}\right)^4.$$
9. Cho $a_1<a_2$ là hai số nguyên. Với mọi $n\geq 3$, gọi $a_n$ là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn $a_{n-1}$ và được biểu diễn duy nhất theo hai số hạng trước nó, tức là tồn tại duy nhất $i,j$ với $1\leq i<j\leq n-1$ sao cho $a_n=a_i+a_j$. Giả sử rằng trong các số hạng của dãy $(a_n)$ chỉ có hữu hạn số chẵn. Chứng minh rằng dãy $(a_{n+1}-a_n)$ tuần hoàn kể từ một số hạng nào đó.
10. Cho $n\geq 2$ là một số nguyên. Chứng minh rằng tồn tại hữu hạn bộ $n$ số nguyên $(a_1,a_2,...,a_n)$ thoả đồng thời ba tính chất sau
    • $a_1>a_2>...>a_n$.
    • $\gcd(a_1,a_2,...,a_n)=1$.
    • $a_{1}=\sum\limits_{i=1}^{n}\gcd (a_{i},a_{i+1})$, ở đây $ a_{n+1}=a_{1} $.
11. Cho $m,n$ là hai số nguyên lớn hơn 1, $r<s$ là hai số thực dương, $a_{ij}\geq 0$ nhưng tất cả không đồng thời bằng 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$\displaystyle{f=\dfrac{(\sum_{j=1}^{n}(\sum_{i=1}^{m}a_{ij}^{s})^{\frac{r}{s}})^{\frac{1}{r}}}{(\sum_{i=1}^{m}(\sum_{j=1}^{n}a_{ij}^{r})^{\frac{s}{r}})^{\frac{1}{s}}}}.$$
12. Cho số nguyên $n\geq 2$. Một hàm $f:\mathbb{Z}\to\{1,2,...,n\}$ được gọi là tốt nếu với mọi $k,1\leq k\leq n-1$ luôn tồn tại số nguyên $j(k)$ sao cho với mọi số nguyên $m$ ta có $$f(m+j(k))\equiv f(m+k)-f(m)\pmod{n+1}.$$ Tìm số các hàm tốt.