- Cho các số phức $x_i,y_i,i=1...n$ thoả $|x_i|=|y_i|=1$. Đặt $$x=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i,\quad y=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i,\quad z_i=xy_i+yx_i-x_iy_i.$$ Chứng minh rằng $$\sum_{i=1}^n|z_i|\leq n.$$
- Cho tam giác $ABC$ không đều, đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc với các cạnh $BC,CA,AB$ lần lượt tại $A_1,B_1,C_1$. Gọi $A_2$ đối xứng với $A_1$ qua $B_1C_1$, $B_2$ đối xứng với $B_1$ qua $C_1A_1$, $C_2$ đối xứng với $C_1$ qua $A_1B_1$. Gọi $ A{A_{2}}\cap BC ={A_{3}} $, $ B{B_{2}}\cap CA ={B_{3}} $, $ C{C_{2}}\cap AB ={C_{3}} $. Chứng minh rằng $ {A_{3}},{B_{3}},{C_{3}} $ thẳng hàng.
- Đặt $x_n=C_{2n}^n$. Chứng minh rằng tồn tại vô hạn các tập hợp hữu hạn $A,B$ gồm các số nguyên dương sao cho $A\cap B =\emptyset$ và $$\frac{{\prod\limits_{i\in A}{{x_{i}}}}}{{\prod\limits_{j\in B}{{x_{j}}}}}= 2012.$$
- Cho hai đường tròn $\omega_1,\omega_2$, Gọi $S$ là tập hợp tất cả các tam giác $ABC$ sao cho $\omega_1$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ và $\omega_2$ là đường tròn bàng tiếp góc $A$ của tam giác $ABC$ tiếp xúc với các cạnh $AB, BC, CA$ lần lượt tại $D,E,F$. Giả sử $S$ khác rỗng, chứng minh rằng trọng tâm tam giác $DEF$ cố định.
- Với mỗi $n$, kí hiệu $\tau (n)$ là số ước số của $n$. Một số nguyên dương được gọi là tốt nếu $\tau (m)<\tau (n)$ với mọi $0<m<n$. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $k$ chỉ tồn tại hữu hạn số nguyên dương tốt không chia hết cho $k$.
- Với mỗi số nguyên dương $n$, tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ sao cho $$f(x+y+f(y))=f(x)+ny,\forall x,y\in\mathbb{Z}.$$
- Cho $G$ là một đồ thị đơn. Một nhóm gồm $t$ đỉnh mà các cạnh đôi một nối với nhau được gọi là $t$-nhóm và một đỉnh được gọi là đỉnh trung tâm nếu nó được nối với tất cả các đỉnh còn lại. Cho $n,k$ là hai số nguyên dương thoả $\dfrac{3}{2}\leq\dfrac{n}{2}<k<n$ và $G$ có $n$ đỉnh thoả các điều kiện sau
- $G$ không có $k+1$-nhóm nào.
- Nếu thêm vào bất kỳ một đường nối giữa hai điểm thì ta được một $k+1$-nhóm.
- Chứng minh rằng tồn tại số thực $C$ sao cho: Với mọi số nguyên dương $n\geq 2$ và với mọi tập con $X$ không ít hơn hai phần tử của tập $\{1,2,...,n\}$, luôn tồn tại $x,y,z,t\in X$ (không nhất thiết phân biệt) sao cho $$0<|xy-zt|<C\left(\dfrac{n}{|X|}\right)^4.$$
- Cho $a_1<a_2$ là hai số nguyên. Với mọi $n\geq 3$, gọi $a_n$ là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn $a_{n-1}$ và được biểu diễn duy nhất theo hai số hạng trước nó, tức là tồn tại duy nhất $i,j$ với $1\leq i<j\leq n-1$ sao cho $a_n=a_i+a_j$. Giả sử rằng trong các số hạng của dãy $(a_n)$ chỉ có hữu hạn số chẵn. Chứng minh rằng dãy $(a_{n+1}-a_n)$ tuần hoàn kể từ một số hạng nào đó.
- Cho $n\geq 2$ là một số nguyên. Chứng minh rằng tồn tại hữu hạn bộ $n$ số nguyên $(a_1,a_2,...,a_n)$ thoả đồng thời ba tính chất sau
- $a_1>a_2>...>a_n$.
- $\gcd(a_1,a_2,...,a_n)=1$.
- $a_{1}=\sum\limits_{i=1}^{n}\gcd (a_{i},a_{i+1})$, ở đây $ a_{n+1}=a_{1} $.
- Cho $m,n$ là hai số nguyên lớn hơn 1, $r<s$ là hai số thực dương, $a_{ij}\geq 0$ nhưng tất cả không đồng thời bằng 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$\displaystyle{f=\dfrac{(\sum_{j=1}^{n}(\sum_{i=1}^{m}a_{ij}^{s})^{\frac{r}{s}})^{\frac{1}{r}}}{(\sum_{i=1}^{m}(\sum_{j=1}^{n}a_{ij}^{r})^{\frac{s}{r}})^{\frac{1}{s}}}}.$$
- Cho số nguyên $n\geq 2$. Một hàm $f:\mathbb{Z}\to\{1,2,...,n\}$ được gọi là tốt nếu với mọi $k,1\leq k\leq n-1$ luôn tồn tại số nguyên $j(k)$ sao cho với mọi số nguyên $m$ ta có $$f(m+j(k))\equiv f(m+k)-f(m)\pmod{n+1}.$$ Tìm số các hàm tốt.
Đề Thi Chọn Đội Tuyển Toán Trung Quốc Tham Dự IMO 2012
China - Trung Quốc
Chọn Đội Tuyển
Đề Thi HSG
TST
MOlympiad.NET là dự án thu thập và phát hành các đề thi tuyển sinh và học sinh giỏi toán. Quý bạn đọc muốn giúp chúng tôi chỉnh sửa đề thi này, xin hãy để lại bình luận facebook (có thể đính kèm hình ảnh) hoặc google (có thể sử dụng $\LaTeX$) bên dưới. BBT rất mong bạn đọc ủng hộ UPLOAD đề thi và đáp án mới hoặc liên hệ Chúng tôi nhận tất cả các định dạng của tài liệu: $\TeX$, PDF, WORD, IMG,... | |