Đề Thi Chọn Đội Tuyển Tỉnh Quảng Trị Dự Thi Học Sinh Giỏi Quốc Gia THPT 2014-2015

1. Chứng minh rằng từ ba số nguyên lẻ đôi một phân biết, ta luôn có thể chọn ra hai số, gọi là $a$ và $b$, sao cho $a^3b-ab^3$ chia hết cho $40$.
2. Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh một tam giác. Xét các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $$\left\{\begin{matrix}cy+bz=a\\az+cx=b \\bx+ay=c \end{matrix}\right.$$ Chứng minh rằng $x+y+z\le \dfrac{3}{2}$.
3. Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$ và đường thẳng $l$ không cắt $(O)$ ($AB$ vuông góc với $l$ và $B$ gần với $l$ hơn so với $A$). Trên $(O)$ lấy điểm $C$ khác với $A$ và $B$, gọi $D$ là giao điểm của đường thẳng $AC$ và $l$. Vẽ tiếp tuyến $DE$ của $(O)$ ($E$ là tiếp điểm và nằm cùng phía với $B$ đối với đường thẳng $AC$), đường thẳng $BE$ cắt $l$ tại $F$, đường thẳng $AF$ cắt $(O)$ tại $G\neq A$. Chứng minh $D$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $EFG$.
4. Tìm tất cả các hàm số $f:(0;+\infty)\to (0;+\infty)$ sao cho $$\frac{f(x)+f(y)}{\sqrt{f(xy)}}=\frac{x+y}{\sqrt{xy}},\ \forall x,y\in (0;+\infty).$$
5. Có bao nhiêu số tự nhiên có $10$ chữ số từ tập $\{0,1,...,6\}$ sao cho chữ số đầu tiên bên trái bằng $1$ và hai chữ số kề nhau bất kì hơn kém nhau $1$ đơn vị?.
6. Giải hệ phương trình $$\begin{cases}\sqrt{x^2+\dfrac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\dfrac{1}{y^2}}&=2\sqrt{5}\\(x+y)\left(\dfrac{1}{xy}+1\right)&= 3\sqrt{2}\end{cases}.$$
7. Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi $$a_1=\frac{1}{2},\quad a_{n+1}=\frac{(n+1)a_n^2}{n(a_n+1)},\, \forall n\in\mathbb N^*.$$ Chứng minh dãy số $(a_n)$ có giới hạn và tính giới hạn đó.
8. Chứng minh bất đẳng thức sau $$3(x^2-x+1)(y^2-y+1)\ge 2(x^2y^2-xy+1),\, \forall x,y \in \mathbb{R}.$$ Đẳng thức xảy ra khi nào?.
9. Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân. Gọi $H$ là trực tâm tam giác; $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$, $AC$. Đường tròn $(M,MH)$ cắt cạnh $AB$ tại $M_1$, $M_2$, đường tròn $(N,NH)$ cắt cạnh $AC$ tại $N_1$, $N_2$. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $BN_1N_2$, $CM_1M_2$ cắt nhau tại $P$, $Q$. Chứng minh rằng ba điểm $A$, $P$, $Q$ cùng nằm trên một đường thẳng và đường thẳng này đi qua trung điểm $BC$.
10. Ban đầu trên bảng điện tử hiển thị hai số phân biệt $a$ và $b$. Sau mỗi giây, bảng sẽ tự động hiển thị thêm các số $n$ nếu nó chưa có trên bảng và $n$ là tổng của hai số nào đó đã có trên bản. Hãy xác định xem $2014$ có được hiển thị trên bảng hay không, nếu có thì sau thời gian ít nhất bao lâu (kể từ thời điểm ban đầu), trong các trường hợp sau
    a) $a=3$, $b=12$.
    b) $a=1$, $b=2$.