$hide=mobile

Đề Thi Chọn Đội Tuyển Toán Ả-rập Xê-út Tham Dự IMO 2014

  1. Tarik và Sultan cùng chơi với nhau một trò chơi như sau: Tarik nghĩ về một số nguyên lớn hơn $100$; và Sultan sẽ phải đoán lần lượt các số lớn hơn $1$. Nếu số Tarik đang nghĩ tới chia hết cho con số mà Sultan đoán, Sultan sẽ thắng; nếu ngược lại, Tarik phải lấy số của mình trừ bớt cho số của Sultan và Sultan tiếp tục đoán. Theo luật, Sultan không được lặp lại con số mà mình đã đoán và cậu ta sẽ thua nếu số của Tarik trở nên nhỏ hơn $0$. Hỏi Sultan có thể có một chiến thuật để thắng không?
  2. Ta định nghĩa một [b]domino[/b] là một cặp số nguyên dương khác nhau có sắp xếp (Ví dụ, ta có $(3,5)$ và $(5,3)$ là $2$ domino khác nhau). Một dãy domino được gọi là hoàn chỉnh nếu gồm các domino khác nhau được sắp xếp sao cho số đầu của domino này sẽ bằng với số sau của domino liền trước; và $2$ domino $(i,j)$ và $(j,i)$ không được cùng xuất hiện trong dãy với mọi $i$ và $j$. Cho $D_n$ là tập hợp các domino với các số trong cặp không lớn hơn $n$. Hãy tìm chiều dài xa nhất mà một dãy domino hoàn chỉnh có thể đạt được khi được dựng từ các domino của $D_n$.
  3. Cho tam giác $ABC$ và một điểm $P$ trên $BC$. Ta lấy các điểm $M$ và $N$ lần lượt nằm trên $AB$ và $AC$ sao cho $MN$ không song song với $BC$ và $AMPN$ là một hình bình hành. Đường $MN$ giao với đường tròn ngoại tiếp của $\Delta ABC$ tại $2$ điểm $R$ và $S$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp của tam giác $RPS$ tiếp xúc với đường thẳng $BC$.
  4. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N} ^*\rightarrow\mathbb{N} ^*$ thỏa mãn điều kiện $$f(n+1)>\frac{f(n)+f(f(n))}{2}\forall n\in \mathbb{N} ^*$$
  5. Cho $\Gamma$ là một đường tròn với tâm $O$ và đường kính $AE$. Lấy điểm $D$ nằm trên đoạn thẳng $OE$ và điểm $B$ là trung điểm của cung tròn $\widehat{AE}$ trên $\Gamma$. Dựng điểm $C$ sao cho $ABCD$ là một hình bình hành. Đường $EB$ và $CD$ giao nhau tại $F$. Đường thẳng $OF$ cắt cung nhỏ $\widehat{EB}$ tại $I$. Chứng minh rằng đường $EI$ chia đôi góc $BEC$.
  6. Cho $S$ là một tập hợp gồm $5$ số thực dương sao cho với $3$ phần tử $a,b,c$ bất kỳ trong $S$, ta có $\left(ab+bc+ca\right)$ là một số hữu tỉ. Chứng minh rằng khi chọn ra $2$ phần tử $a$ và $b$ bất kỳ trong $S$ thì thương số $\frac{a}{b}$ luôn là số hữu tỉ.
  7. Chứng minh rằng ta luôn có thể lập một bảng $n \times n$ các số không âm (không nhất thiết khác nhau) sao cho tổng các hàng và các cột là các số chính phương khác nhau.
  8. Aws xếp một bộ bài chuẩn $52$ lá lên bàn thành hàng và chơi trò chơi như sau: nếu như $2$ lá kề nhau có cùng màu, thì cậu có thể loại chúng ra ngoài; và Aws sẽ thắng nếu tất cả các lá bài đều được loại bỏ. Nếu bộ bài được xếp ngẫu nhiên, xác suất mà cậu ta có thể thắng là bao nhiêu? (Đây là một dạng của trò chơi mà người chơi phải thực hiện thao tác trên cách sắp xếp được cho trước của các lá bài).
  9. Một số hoàn hảo là một số nguyên mà một nửa tổng tất cả các ước số dương bằng với chính số đó. Ví dụ, bởi vì $$28 = \frac{1}{2} \left(1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28\right),$$ $28$ là một số hoàn hảo. a) Tìm tất cả các số nguyên không chia hết cho bình phương của một số nguyên tố bất kỳ nào mà cũng là một số hoàn hảo. b) Chứng minh rằng không thể có số chính phương là một số hoàn hảo.
  10. Xác định tất cả các hàm số $f:[0,\infty)\rightarrow\mathbb{R}$ sao cho $f(0)=0$ và $$f(x)=1+5 f \left(\left\lfloor \frac{x}{2} \right\rfloor \right)-6f\left(\left\lfloor \frac{x}{4}\right \rfloor \right)\forall x>0$$
  11. Ta có $2015$ đồng xu trên bàn. Với $i = 1, 2, \dots , 2015$, lần lượt, ta phải lật ngược đúng $i$ đồng xu. Chứng minh rằng ta luôn có thể làm tất cả các đồng xu cùng xấp hoặc cùng ngửa; nhưng không được có cả hai cùng lúc.
  12. Cho các đường tròn $\omega_1$ và $\omega_2$ với tâm $O_1$ và $O_2$, giao nhau tai $2$ điểm $A$ và $B$. Lấy $X$ và $Y$ là các điểm trên $\omega_1$. Đường thẳng $XA$ và $YA$ giao $\omega_2$ lần lượt tại $Z$ và $W$ khác $A$ sao cho $A$ nằm giữa $X$ và $Z$ và giữa $Y$ và $W$. Lấy trung điểm $M$ của $O_1 O_2$, trung điểm $S$ của $XA$ và trung điểm $T$ của $WA$. Chứng minh rằng $MS = MT$ khi và chỉ khi $4$ điểm $X,Y,Z,W$ đồng viên.
  13. Cho $a_1,\dots,a_n$ là một dãy không tăng gồm các số thực dương. Chứng minnh rằng $$\sqrt{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}\le a_1+\frac{a_2}{\sqrt{2}+1}+\cdots+\frac{a_n}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}.$$ Đẳng thức xảy ra khi nào?
  14. Trong một giải đấu, mỗi đấu thủ chơi đúng $1$ trận với mỗi người khác. Trong một trận, người thắng nhận được $1$ điểm, người thua nhận được $0$, và mỗi người sẽ được $\tfrac{1}{2}$ nếu như trận đấu hòa. Sau khi tổng kết giải đấu, người ta thấy rằng đúng một nửa của số điểm mỗi người nhận được đều đến từ các trận người đó chơi với $10$ người thấp điểm nhất. (Với mỗi trong $10$ người đó thì một nửa điểm của người đó đến từ các trận chơi với $9$ người kia). Hỏi đã có tổng cộng bao nhiêu người chơi trong chận đấu đó?
  15. Cho hai viên sỏi $A$ và $B$ trên các mắt của một mạng lưới vuông. Mỗi lượt, ta có thể dời chỗ $1$ trong $2$ viên sỏi sang một mắt khác của lưới sao cho khoảng cách giữa chúng không đổi. Có thể hay không, sau một số lượt nhất định, ta đổi chỗ được $2$ viên sỏi ban đầu?
  16. Cho trước $3$ điểm $A_1, B_1, C_1$ trên các cạnh $BC, AC$ và $AB$ của tam giác $ABC$, sao cho $AB_1 -AC_1 = CA_1 -CB_1 = BC_1 -BA_1$. Lấy $I_A, I_B, I_C$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác $AB_1 C_1, A_1 BC_1$ và $A_1 B_1 C$. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $I_A I_B I_C$ trùng với tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $ABC$.

Post a Comment


$hide=home

$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0

$hide=post$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0

$hide=home

Kỷ Yếu$cl=violet$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0

Journals$cl=green$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0

Name

Ả-rập Xê-út,1,Abel,5,Albania,2,AMM,2,Amsterdam,5,Ấn Độ,1,An Giang,21,Andrew Wiles,1,Anh,2,Áo,1,APMO,19,Ba Đình,2,Ba Lan,1,Bà Rịa Vũng Tàu,51,Bắc Giang,49,Bắc Kạn,1,Bạc Liêu,9,Bắc Ninh,46,Bắc Trung Bộ,7,Bài Toán Hay,5,Balkan,37,Baltic Way,30,BAMO,1,Bất Đẳng Thức,66,Bến Tre,46,Benelux,13,Bình Định,43,Bình Dương,21,Bình Phước,38,Bình Thuận,34,Birch,1,Booklet,11,Bosnia Herzegovina,3,BoxMath,3,Brazil,2,Bùi Đắc Hiên,1,Bùi Thị Thiện Mỹ,1,Bùi Văn Tuyên,1,Bùi Xuân Diệu,1,Bulgaria,5,Buôn Ma Thuột,1,BxMO,12,Cà Mau,13,Cần Thơ,14,Canada,39,Cao Bằng,6,Cao Quang Minh,1,Câu Chuyện Toán Học,36,Caucasus,2,CGMO,10,China,10,Chọn Đội Tuyển,347,Chu Tuấn Anh,1,Chuyên Đề,124,Chuyên Sư Phạm,31,Chuyên Trần Hưng Đạo,3,Collection,8,College Mathematic,1,Concours,1,Cono Sur,1,Contest,610,Correspondence,1,Cosmin Poahata,1,Crux,2,Czech-Polish-Slovak,25,Đà Nẵng,38,Đa Thức,2,Đại Số,20,Đắk Lắk,54,Đắk Nông,7,Đan Phượng,1,Danube,7,Đào Thái Hiệp,1,ĐBSCL,2,Đề Thi HSG,1629,Đề Thi JMO,1,Điện Biên,8,Định Lý,1,Định Lý Beaty,1,Đỗ Hữu Đức Thịnh,1,Do Thái,3,Doãn Quang Tiến,4,Đoàn Quỳnh,1,Đoàn Văn Trung,1,Đống Đa,4,Đồng Nai,49,Đồng Tháp,51,Du Hiền Vinh,1,Đức,1,Duyên Hải Bắc Bộ,25,E-Book,33,EGMO,16,ELMO,19,EMC,8,Epsilon,1,Estonian,5,Euler,1,Evan Chen,1,Fermat,3,Finland,4,Forum Of Geometry,2,Furstenberg,1,G. Polya,3,Gặp Gỡ Toán Học,26,Gauss,1,GDTX,3,Geometry,12,Gia Lai,25,Gia Viễn,2,Giải Tích Hàm,1,Giảng Võ,1,Giới hạn,2,Goldbach,1,Hà Giang,2,Hà Lan,1,Hà Nam,28,Hà Nội,231,Hà Tĩnh,72,Hà Trung Kiên,1,Hải Dương,49,Hải Phòng,42,Hàn Quốc,5,Hậu Giang,4,Hậu Lộc,1,Hilbert,1,Hình Học,33,HKUST,7,Hòa Bình,13,Hoài Nhơn,1,Hoàng Bá Minh,1,Hoàng Minh Quân,1,Hodge,1,Hojoo Lee,2,HOMC,5,HongKong,8,HSG 10,100,HSG 11,84,HSG 12,577,HSG 9,398,HSG Cấp Trường,78,HSG Quốc Gia,98,HSG Quốc Tế,16,Hứa Lâm Phong,1,Hứa Thuần Phỏng,1,Hùng Vương,2,Hưng Yên,30,Hương Sơn,2,Huỳnh Kim Linh,1,Hy Lạp,1,IMC,25,IMO,54,India,45,Inequality,13,InMC,1,International,307,Iran,11,Jakob,1,JBMO,41,Jewish,1,Journal,20,Junior,38,K2pi,1,Kazakhstan,1,Khánh Hòa,16,KHTN,53,Kiên Giang,63,Kim Liên,1,Kon Tum,18,Korea,5,Kvant,2,Kỷ Yếu,42,Lai Châu,4,Lâm Đồng,33,Lạng Sơn,21,Langlands,1,Lào Cai,15,Lê Hải Châu,1,Lê Hải Khôi,1,Lê Hoành Phò,4,Lê Khánh Sỹ,3,Lê Minh Cường,1,Lê Phúc Lữ,1,Lê Phương,1,Lê Quý Đôn,1,Lê Viết Hải,1,Lê Việt Hưng,1,Leibniz,1,Long An,42,Lớp 10,10,Lớp 10 Chuyên,452,Lớp 10 Không Chuyên,229,Lớp 11,1,Lục Ngạn,1,Lượng giác,1,Lương Tài,1,Lưu Giang Nam,2,Lý Thánh Tông,1,Macedonian,1,Malaysia,1,Margulis,2,Mark Levi,1,Mathematical Excalibur,1,Mathematical Reflections,1,Mathematics Magazine,1,Mathematics Today,1,Mathley,1,MathLinks,1,MathProblems Journal,1,Mathscope,8,MathsVN,5,MathVN,1,MEMO,10,Metropolises,4,Mexico,1,MIC,1,Michael Guillen,1,Mochizuki,1,Moldova,1,Moscow,1,Mỹ,9,MYTS,4,Nam Định,32,Nam Phi,1,Nam Trung Bộ,1,National,249,Nesbitt,1,Newton,4,Nghệ An,50,Ngô Bảo Châu,2,Ngô Việt Hải,1,Ngọc Huyền,2,Nguyễn Anh Tuyến,1,Nguyễn Bá Đang,1,Nguyễn Đình Thi,1,Nguyễn Đức Tấn,1,Nguyễn Đức Thắng,1,Nguyễn Duy Khương,1,Nguyễn Duy Tùng,1,Nguyễn Hữu Điển,3,Nguyễn Mình Hà,1,Nguyễn Minh Tuấn,8,Nguyễn Phan Tài Vương,1,Nguyễn Phú Khánh,1,Nguyễn Phúc Tăng,1,Nguyễn Quản Bá Hồng,1,Nguyễn Quang Sơn,1,Nguyễn Tài Chung,5,Nguyễn Tăng Vũ,1,Nguyễn Tất Thu,1,Nguyễn Thúc Vũ Hoàng,1,Nguyễn Trung Tuấn,8,Nguyễn Tuấn Anh,2,Nguyễn Văn Huyện,3,Nguyễn Văn Mậu,25,Nguyễn Văn Nho,1,Nguyễn Văn Quý,2,Nguyễn Văn Thông,1,Nguyễn Việt Anh,1,Nguyễn Vũ Lương,2,Nhật Bản,3,Nhóm $\LaTeX$,4,Nhóm Toán,1,Ninh Bình,41,Ninh Thuận,15,Nội Suy Lagrange,2,Nội Suy Newton,1,Nordic,19,Olympiad Corner,1,Olympiad Preliminary,2,Olympic 10,96,Olympic 10/3,5,Olympic 11,88,Olympic 12,30,Olympic 24/3,6,Olympic 27/4,19,Olympic 30/4,64,Olympic KHTN,6,Olympic Sinh Viên,73,Olympic Tháng 4,10,Olympic Toán,297,Olympic Toán Sơ Cấp,3,PAMO,1,Phạm Đình Đồng,1,Phạm Đức Tài,1,Phạm Huy Hoàng,1,Pham Kim Hung,3,Phạm Quốc Sang,2,Phan Huy Khải,1,Phan Thành Nam,1,Pháp,2,Philippines,8,Phú Thọ,30,Phú Yên,26,Phùng Hồ Hải,1,Phương Trình Hàm,11,Phương Trình Pythagoras,1,Pi,1,Polish,32,Problems,1,PT-HPT,14,PTNK,44,Putnam,25,Quảng Bình,44,Quảng Nam,31,Quảng Ngãi,33,Quảng Ninh,43,Quảng Trị,26,Quỹ Tích,1,Riemann,1,RMM,12,RMO,24,Romania,36,Romanian Mathematical,1,Russia,1,Sách Thường Thức Toán,7,Sách Toán,69,Sách Toán Cao Học,1,Sách Toán THCS,7,Saudi Arabia,7,Scholze,1,Serbia,17,Sharygin,24,Shortlists,56,Simon Singh,1,Singapore,1,Số Học - Tổ Hợp,27,Sóc Trăng,28,Sơn La,11,Spain,8,Star Education,5,Stars of Mathematics,11,Swinnerton-Dyer,1,Talent Search,1,Tăng Hải Tuân,2,Tạp Chí,14,Tập San,6,Tây Ban Nha,1,Tây Ninh,29,Thạch Hà,1,Thái Bình,39,Thái Nguyên,49,Thái Vân,2,Thanh Hóa,57,THCS,2,Thổ Nhĩ Kỳ,5,Thomas J. Mildorf,1,THPT Chuyên Lê Quý Đôn,1,THPTQG,15,THTT,6,Thừa Thiên Huế,34,Tiền Giang,19,Tin Tức Toán Học,1,Titu Andreescu,2,Toán 12,7,Toán Cao Cấp,3,Toán Chuyên,2,Toán Rời Rạc,5,Toán Tuổi Thơ,3,Tôn Ngọc Minh Quân,2,TOT,1,TPHCM,123,Trà Vinh,5,Trắc Nghiệm,1,Trắc Nghiệm Toán,2,Trại Hè,34,Trại Hè Hùng Vương,25,Trại Hè Phương Nam,5,Trần Đăng Phúc,1,Trần Minh Hiền,2,Trần Nam Dũng,9,Trần Phương,1,Trần Quang Hùng,1,Trần Quốc Anh,2,Trần Quốc Luật,1,Trần Quốc Nghĩa,1,Trần Tiến Tự,1,Trịnh Đào Chiến,2,Trung Quốc,12,Trường Đông,19,Trường Hè,7,Trường Thu,1,Trường Xuân,2,TST,55,Tuyên Quang,6,Tuyển Sinh,3,Tuyển Tập,44,Tuymaada,4,Undergraduate,66,USA,44,USAJMO,10,USATST,7,Uzbekistan,1,Vasile Cîrtoaje,4,Vật Lý,1,Viện Toán Học,2,Vietnam,4,Viktor Prasolov,1,VIMF,1,Vinh,27,Vĩnh Long,19,Vĩnh Phúc,63,Virginia Tech,1,VLTT,1,VMEO,4,VMF,12,VMO,46,VNTST,21,Võ Anh Khoa,1,Võ Quốc Bá Cẩn,26,Võ Thành Văn,1,Vojtěch Jarník,6,Vũ Hữu Bình,7,Vương Trung Dũng,1,WFNMC Journal,1,Wiles,1,Yên Bái,17,Yên Định,1,Yên Thành,1,Zhautykov,11,Zhou Yuan Zhe,1,
ltr
item
MOlympiad: Đề Thi Chọn Đội Tuyển Toán Ả-rập Xê-út Tham Dự IMO 2014
Đề Thi Chọn Đội Tuyển Toán Ả-rập Xê-út Tham Dự IMO 2014
MOlympiad
https://www.molympiad.net/2017/09/de-thi-chon-doi-tuyen-a-rap-xe-ut-2014.html
https://www.molympiad.net/
https://www.molympiad.net/
https://www.molympiad.net/2017/09/de-thi-chon-doi-tuyen-a-rap-xe-ut-2014.html
true
2506595080985176441
UTF-8
Loaded All Posts Not found any posts VIEW ALL Readmore Reply Cancel reply Delete By Home PAGES POSTS View All RECOMMENDED FOR YOU LABEL ARCHIVE SEARCH ALL POSTS Not found any post match with your request Back Home Sunday Monday Tuesday Wednesday Thursday Friday Saturday Sun Mon Tue Wed Thu Fri Sat January February March April May June July August September October November December Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec just now 1 minute ago $$1$$ minutes ago 1 hour ago $$1$$ hours ago Yesterday $$1$$ days ago $$1$$ weeks ago more than 5 weeks ago Followers Follow THIS PREMIUM CONTENT IS LOCKED Please share to unlock Copy All Code Select All Code All codes were copied to your clipboard Can not copy the codes / texts, please press [CTRL]+[C] (or CMD+C with Mac) to copy