Đề Kiểm Tra Trường Xuân Toán Học Miền Nam 2016

1. Cho $a, b, c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức $$\frac{ab+bc+ca+\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}}{a+b+c+\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \le \frac{a+b+c}{3}$$
2. Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp trong $(O)$, ngoại tiếp $(I)$. Gọi $(J)$ là đường tròn Euler và $H$ là trực tâm tam giác. Đường tròn $(I)$ tiếp xúc với $AB, AC$ lần lượt tại $D, E$. Điểm $T$ di động trên $(J)$ và đường thẳng qua $T$ vuông góc với $HT$ cắt $(O)$ ở $M, N$. Dựng hình bình hành $MHNK$.
   a) Chứng minh rằng $K$ luôn di chuyển trên một đường cố định khi $T$ thay đổi.
   b) Đường tròn $(S)$ tiếp xúc ngoài với $(J)$ và tiếp xúc với $AB, AC$ tại $X, Y$. Gọi $Z$ là trực tâm của tam giác $ADE$. Chứng minh rằng tứ giác $AXZY$ là hình thoi.
3. Một cấp số cộng các số nguyên dương gồm ít nhất 3 số hạng được gọi là chuẩn nếu tích các số hạng của nó là ước số của một số có dạng $ n^2 + 1 $.
   a) Chứng minh rằng tồn tại một cấp số cộng chuẩn với công sai $12$.
   b) Chứng minh rằng không tồn tại cấp số cộng chuẩn với công sai $10$ và $11$.
   c) Cấp số cộng chuẩn với công sai bằng $12$ có thể có nhiều nhất bao nhiêu số hạng?
4. a) Cho bảng hình chữ nhật $m \times n$ ô với $m,n$ là các số nguyên dương cho trước. Trên mỗi ô của bảng ta viết $1$ trong các số $0,1,2$ sao cho tổng các số trên mỗi hàng, mỗi cột chia hết cho $3$. Hỏi có thể có nhiều nhất bao nhiêu số $1$?.
   b) Cho hình hộp chữ nhật $2015 \times 2016 \times 2017$ được tạo thành từ các hình lập phương đơn vị. Trong mỗi hình lập phương đơn vị, ta viết một trong các số $0,1,2$ sao cho tổng các số trong mỗi dài $1 \times 1 \times 1 \times 2017$, $1 \times 2016 \times 1$ và $2015 \times 1 \times 1$ chia hết cho $3$. Hỏi có thể có nhiều nhất bao nhiêu số $1$?.
5. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ bán kính $R$, ngoại tiếp đường tròn $(I)$ bán kính $r$ và có các đường trung tuyến là $AA_1,BB_1,CC_1$. Tiếp tuyến tại $B,C$ của đường tròn $(O)$ cắt nhau tại $S$ và giả sử $AS$ cắt $BC$ tại $A_2$. Các điểm $B_2,C_2$ được xác định tương tự. Chứng minh rằng $$\frac{AA_2}{AA_1}+ \frac{BB_2}{BB_1}+ \frac{CC_2}{CC_1} \ge 1+ \frac{4r}{R}.$$
6. Cho số nguyên dương $n$. Gọi $B^{n+1}$ là tập tất cả các xâu nhị phân độ dài $n$, tức là $$B^{n+1}= \left \{ a_na_{n-1} \cdots a_0 \mid a_i \in \{ 0,1 \} \forall i=0,1, \cdots , n \right \}.$$ Với mỗi xâu $a=a_na_{n-1} \cdots a_0$ thuộc $B^{n+1}$ ta gọi $$s(a)=a_n+a_{n-1}+ \cdots +a_0 \pmod 2$$ là bit kiểm tra của xâu $a$ và $$v(a)=a_n2^n+a_{n-1}2^{n-1}+ \cdots + a_1 \cdot 2+a_0$$ là giá trị của xâu $a$. Gọi $B_0^{n+1}$, $B_1^{n+1}$ tương ứng là tập hợp tất cả các xâu nhị phân có độ dài $n+1$ có bit kiểm tra tương ứng là $0$ và $1$. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $k,n$, ta có đẳng thức: $$\sum_{a \in B_0^{n+1}}(v(a))^k= \sum_{a \in B_1^{n+1}}(v(a))^k.$$