# [Solutions] India National Mathematical Olympiad 2012

1. Let $ABCD$ be a quadrilateral inscribed in a circle. Suppose $AB=\sqrt{2+\sqrt{2}}$ and $AB$ subtends $135$ degrees at center of circle . Find the maximum possible area of $ABCD$.
2. Let $p_1<p_2<p_3<p_4$ and $q_1<q_2<q_3<q_4$ be two sets of prime numbers such that $p_4-p_1=8$ and $q_4-q_1=8$. Suppose $p_1>5$ and $q_1>5$. Prove that $30$ divides $p_1 - q_1$.
3. Define a sequence of functions by $$f_0 (x) = 1,\, f_1(x)=x,\quad (f_n(x))^2 - 1 = f_{n+1}(x) f_{n-1}(x)$$ for $n \ge 1$. Prove that each $f_n (x)$ is a polynomial with integer coefficients.
4. Let $ABC$ be a triangle. An interior point $P$ of $ABC$ is said to be good if we can find exactly $27$ rays emanating from $P$ intersecting the sides of the triangle $ABC$ such that the triangle is divided by these rays into $27$ smaller triangles of equal area. Determine the number of good points for a given triangle $ABC$.
5. Let $ABC$ be an acute angled triangle. Let $D,E,F$ be points on $BC, CA, AB$ such that $AD$ is the median, $BE$ is the internal bisector and $CF$ is the altitude. Suppose that $\angle FDE=\angle C$, $\angle DEF=\angle A$ and $\angle EFD=\angle B.$ Show that $ABC$ is equilateral.
6. Let $f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ be a function satisfying $f(0) \ne 0$, $f(1) = 0$ and
• $f(xy) + f(x)f(y) = f(x) + f(y)$
• $\left(f(x-y) - f(0)\right ) f(x)f(y) = 0$ for all $x,y \in \mathbb{Z}$, simultaneously.
a) Find the set of all possible values of the function $f$.
b) If $f(10) \ne 0$ and $f(2) = 0$, find the set of all integers $n$ such that $f(n) \ne 0$.
 MOlympiad.NET là dự án thu thập và phát hành các đề thi tuyển sinh và học sinh giỏi toán. Quý bạn đọc muốn giúp chúng tôi chỉnh sửa đề thi này, xin hãy để lại bình luận facebook (có thể đính kèm hình ảnh) hoặc google (có thể sử dụng $\LaTeX$) bên dưới. BBT rất mong bạn đọc ủng hộ UPLOAD đề thi và đáp án mới hoặc liên hệbbt.molympiad@gmail.comChúng tôi nhận tất cả các định dạng của tài liệu: $\TeX$, PDF, WORD, IMG,...