# [Solutions] India National Mathematical Olympiad 2009

1. Let $ABC$ be a tringle and let $P$ be an interior point such that $\angle BPC = 90$, $\angle BAP = \angle BCP$. Let $M,N$ be the mid points of $AC,BC$ respectively. Suppose $BP = 2PM$. Prove that $A,P,N$ are collinear.
2. Define a a sequence ${<{a_n}>}^{\infty}_{n=1}$ as follows
• $a_n=0$, if number of positive divisors of $n$ is odd
• $a_n=1$, if number of positive divisors of $n$ is even. (The positive divisors of $n$ include $1$ as well as $n$).
Let $x=0.a_1a_2a_3........$ be the real number whose decimal expansion contains $a_n$ in the $n$-th place, $n\geq1$. Determine, with proof, whether $x$ is rational or irrational.
3. Find all real numbers $x$ such that $$[x^2+2x]={[x]}^2+2[x]$$ (Here $[x]$ denotes the largest integer not exceeding $x$.)
4. All the points in the plane are colored using three colors. Prove that there exists a triangle with vertices having the same color such that either it is isosceles or its angles are in geometric progression.
5. Let $ABC$ be an acute angled triangle and let $H$ be its ortho centre. Let $h_{\max}$ denote the largest altitude of the triangle $ABC$. Prove that $$AH + BH + CH\leq2h_{\max}.$$
6. Let $a,b,c$ be positive real numbers such that $a^3 + b^3 = c^3$. Prove that $$a^2 + b^2 - c^2 > 6(c - a)(c - b).$$
 MOlympiad.NET là dự án thu thập và phát hành các đề thi tuyển sinh và học sinh giỏi toán. Quý bạn đọc muốn giúp chúng tôi chỉnh sửa đề thi này, xin hãy để lại bình luận facebook (có thể đính kèm hình ảnh) hoặc google (có thể sử dụng $\LaTeX$) bên dưới. BBT rất mong bạn đọc ủng hộ UPLOAD đề thi và đáp án mới hoặc liên hệbbt.molympiad@gmail.comChúng tôi nhận tất cả các định dạng của tài liệu: $\TeX$, PDF, WORD, IMG,...