[Solutions] India National Mathematical Olympiad 2006

1. In a non equilateral triangle $ABC$ the sides $a,b,c$ form an arithmetic progression. Let $I$ be the incentre and $O$ the circumcentre of the triangle $ABC$. Prove that
a) $IO$ is perpendicular to $BI$;
b) If $BI$ meets $AC$ in $K$, and $D$, $E$ are the midpoints of $BC$, $BA$ respectively then $I$ is the circumcentre of triangle $DKE$.
2. Prove that for every positive integer $n$ there exists a unique ordered pair $(a,b)$ of positive integers such that $n = \frac{1}{2}(a + b - 1)(a + b - 2) + a .$
3. Let $X=\mathbb{Z}^3$ denote the set of all triples $(a,b,c)$ of integers. Define $f: X \to X$ by $f(a,b,c) = (a+b+c, ab+bc+ca, abc) .$ Find all triples $(a,b,c)$ such that $f(f(a,b,c)) = (a,b,c) .$
4. Some 46 squares are randomly chosen from a $9 \times 9$ chess board and colored in red. Show that there exists a $2\times 2$ block of 4 squares of which at least three are colored in red.
5. In a cyclic quadrilateral $ABCD$, $AB=a$, $BC=b$, $CD=c$, $\angle ABC = 120^\circ$ and $\angle ABD = 30^\circ$. Prove that
a) $c \ge a + b$;
b) $|\sqrt{c + a} - \sqrt{c + b} | = \sqrt{c - a - b}$.
6. a) Prove that if $n$ is a integer such that $n \geq 4011^2$ then there exists an integer $l$ such that $n < l^2 < (1 + \frac{1}{{2005}})n .$ b) Find the smallest positive integer $M$ for which whenever an integer $n$ is such that $n \geq M$ then there exists an integer $l$ such that $n < l^2 < (1 + \frac{1}{{2005}})n .$
 MOlympiad.NET là dự án thu thập và phát hành các đề thi tuyển sinh và học sinh giỏi toán. Quý bạn đọc muốn giúp chúng tôi chỉnh sửa đề thi này, xin hãy để lại bình luận facebook (có thể đính kèm hình ảnh) hoặc google (có thể sử dụng $\LaTeX$) bên dưới. BBT rất mong bạn đọc ủng hộ UPLOAD đề thi và đáp án mới hoặc liên hệbbt.molympiad@gmail.comChúng tôi nhận tất cả các định dạng của tài liệu: $\TeX$, PDF, WORD, IMG,...