# [Solutions] India National Mathematical Olympiad 2003

1. Let $P$ be an interior point of an acute-angled triangle $ABC$. The line $BP$ meets the line $AC$ at $E$, and the line $CP$ meets the line $AB$ at $F$. The lines $AP$ and $EF$ intersect each other at $D$. Let $K$ be the foot of the perpendicular from the point $D$ to the line $BC$. Show that the line $KD$ bisects the angle $\angle EKF$.
2. Find all primes $p,q$ and even $n>2$ such that $$p^n+p^{n-1}+...+1=q^2+q+1.$$
3. Show that $8x^4 - 16x^3 + 16x^2 - 8x + k = 0$ has at least one real root for all real $k$. Find the sum of the non-real roots.
4. Find all $7$-digit numbers which use only the digits $5$ and $7$ and are divisible by $35$.
5. Let a, b, c be the sidelengths and S the area of a triangle ABC. Denote $x=a+\frac{b}{2}$, $y=b+\frac{c}{2}$ and $z=c+\frac{a}{2}$. Prove that there exists a triangle with sidelengths $x, y, z$, and the area of this triangle is $\geq\frac94 S$.
6. Each lottery ticket has a 9-digit numbers, which uses only the digits $1$, $2$, $3$. Each ticket is colored red, blue or green. If two tickets have numbers which differ in all nine places, then the tickets have different colors. Ticket $122222222$ is red, and ticket $222222222$ is green. What color is ticket $123123123$ ?
 MOlympiad.NET là dự án thu thập và phát hành các đề thi tuyển sinh và học sinh giỏi toán. Quý bạn đọc muốn giúp chúng tôi chỉnh sửa đề thi này, xin hãy để lại bình luận facebook (có thể đính kèm hình ảnh) hoặc google (có thể sử dụng $\LaTeX$) bên dưới. BBT rất mong bạn đọc ủng hộ UPLOAD đề thi và đáp án mới hoặc liên hệbbt.molympiad@gmail.comChúng tôi nhận tất cả các định dạng của tài liệu: $\TeX$, PDF, WORD, IMG,...