# [Solutions] India National Mathematical Olympiad 2002

1. For a convex hexagon $ABCDEF$ in which each pair of opposite sides is unequal, consider the following statements.
($a_1$) $AB$ is parallel to $DE$.
($a_2$) $AE = BD$.
($b_1$) $BC$ is parallel to $EF$.
($b_2$) $BF = CE$.
($c_1$) $CD$ is parallel to $FA$.
($c_2$) $CA = DF$.
a) Show that if all six of these statements are true then the hexagon is cyclic.
b) Prove that, in fact, five of the six statements suffice.
2. Find the smallest positive value taken by $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$ for positive integers $a$, $b$, $c$ . Find all $a$, $b$, $c$ which give the smallest value
3. If $x$, $y$ are positive reals such that $x + y = 2$ show that $x^3y^3(x^3+ y^3) \leq 2$.
4. Is it true that there exist 100 lines in the plane, no three concurrent, such that they intersect in exactly 2002 points?
5. Do there exist distinct positive integers $a$, $b$, $c$ such that $a$, $b$, $c$, $-a+b+c$, $a-b+c$, $a+b-c$, $a+b+c$ form an arithmetic progression (in some order).
6. The numbers $1, 2, 3$, $\ldots$, $n^2$ are arranged in an $n\times n$ array, so that the numbers in each row increase from left to right, and the numbers in each column increase from top to bottom. Let $a_{ij}$ be the number in position $i, j$. Let $b_j$ be the number of possible values for $a_{jj}$. Show that $b_1 + b_2 + \cdots + b_n = \frac{ n(n^2-3n+5) }{3} .$

 MOlympiad.NET là dự án thu thập và phát hành các đề thi tuyển sinh và học sinh giỏi toán. Quý bạn đọc muốn giúp chúng tôi chỉnh sửa đề thi này, xin hãy để lại bình luận facebook (có thể đính kèm hình ảnh) hoặc google (có thể sử dụng $\LaTeX$) bên dưới. BBT rất mong bạn đọc ủng hộ UPLOAD đề thi và đáp án mới hoặc liên hệbbt.molympiad@gmail.comChúng tôi nhận tất cả các định dạng của tài liệu: $\TeX$, PDF, WORD, IMG,...