# [Solutions] India National Mathematical Olympiad 2001

1. Let $ABC$ be a triangle in which no angle is $90^{\circ}$. For any point $P$ in the plane of the triangle, let $A_1, B_1, C_1$ denote the reflections of $P$ in the sides $BC,CA,AB$ respectively. Prove that
a) If $P$ is the incenter or an excentre of $ABC$, then $P$ is the circumenter of $A_1B_1C_1$;
b) If $P$ is the circumcentre of $ABC$, then $P$ is the orthocentre of $A_1B_1C_1$;
c) If $P$ is the orthocentre of $ABC$, then $P$ is either the incentre or an excentre of $A_1B_1C_1$.
2. Show that the equation $x^2 + y^2 + z^2 = ( x-y)(y-z)(z-x)$ has infintely many solutions in integers $x,y,z$.
3. If $a,b,c$ are positive real numbers such that $abc= 1$. Prove that $a^{b+c} b^{c+a} c^{a+b} \leq 1 .$
4. Show that given any nine integers, we can find four, $a, b, c, d$ such that $a + b - c - d$ is divisible by $20$. Show that this is not always true for eight integers.
5. $ABC$ is a triangle. $M$ is the midpoint of $BC$. $\angle MAB = \angle C$, and $\angle MAC = 15^{\circ}$. Show that $\angle AMC$ is obtuse. If $O$ is the circumcenter of $ADC$, show that $AOD$ is equilateral.
6. Find all functions $f : \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ such that $f(x +y) = f(x) f(y) f(xy)$ for all $x, y \in \mathbb{R}.$

 MOlympiad.NET là dự án thu thập và phát hành các đề thi tuyển sinh và học sinh giỏi toán. Quý bạn đọc muốn giúp chúng tôi chỉnh sửa đề thi này, xin hãy để lại bình luận facebook (có thể đính kèm hình ảnh) hoặc google (có thể sử dụng $\LaTeX$) bên dưới. BBT rất mong bạn đọc ủng hộ UPLOAD đề thi và đáp án mới hoặc liên hệbbt.molympiad@gmail.comChúng tôi nhận tất cả các định dạng của tài liệu: $\TeX$, PDF, WORD, IMG,...