1. Let $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}$ be the set of positive integers. Find all functions $f$, defined on $\mathbb{N}$ and taking values in $\mathbb{N}$, such that $$(n-1)^2< f(n)f(f(n)) < n^2+n$$ for every positive integer $n$.
2. Let $ABC$ be an acute-angled triangle with altitudes $AD,BE,$ and $CF$. Let $H$ be the orthocentre, that is, the point where the altitudes meet. Prove that $\frac{AB\cdot AC+BC\cdot CA+CA\cdot CB}{AH\cdot AD+BH\cdot BE+CH\cdot CF}\leq 2.$
3. On a $(4n + 2)\times (4n + 2)$ square grid, a turtle can move between squares sharing a side.The turtle begins in a corner square of the grid and enters each square exactly once, ending in the square where she started. In terms of $n$, what is the largest positive integer $k$ such that there must be a row or column that the turtle has entered at least $k$ distinct times?
4. Let $ABC$ be an acute-angled triangle with circumcenter $O$. Let $I$ be a circle with center on the altitude from $A$ in $ABC$, passing through vertex $A$ and points $P$ and $Q$ on sides $AB$ and $AC$. Assume that $BP\cdot CQ = AP\cdot AQ.$Prove that $I$ is tangent to the circumcircle of triangle $BOC$.
5. Let $p$ be a prime number for which $\frac{p-1}{2}$ is also prime, and let $a,b,c$ be integers not divisible by $p$. Prove that there are at most $1+\sqrt {2p}$ positive integers $n$ such that $n<p$ and $p$ divides $a^n+b^n+c^n$.
 MOlympiad.NET là dự án thu thập và phát hành các đề thi tuyển sinh và học sinh giỏi toán. Quý bạn đọc muốn giúp chúng tôi chỉnh sửa đề thi này, xin hãy để lại bình luận facebook (có thể đính kèm hình ảnh) hoặc google (có thể sử dụng $\LaTeX$) bên dưới. BBT rất mong bạn đọc ủng hộ UPLOAD đề thi và đáp án mới hoặc liên hệbbt.molympiad@gmail.comChúng tôi nhận tất cả các định dạng của tài liệu: $\TeX$, PDF, WORD, IMG,...