$hide=mobile

Ứng Dụng Nguyên Lý Dirichlet Trong Chứng Minh Bất Đẳng Thức

Nguyên lý Dirichlet có nội dung là nếu như một số lượng $n$ vật thể được đặt vào $m$ chuồng, với điều kiện $n > m$, thì ít nhất một chuồng sẽ có nhiều hơn 1 vật thể. Định lý này được minh họa trong thực tế bằng một số câu nói như “trong 3 găng tay, có ít nhất hai găng tay phải hoặc hai găng tay trái”. Đó là một ví dụ của một đối số đếm, và mặc dù trông có vẻ trực giác nhưng nó có thể được dùng để chứng minh về khả năng xảy ra những sự kiện “không thể ngờ tới”

Nguyên lí Dirichlet có rất nhiều ứng dụng trong toán học, nó được ứng dụng trực tiếp nhất cho các tập hợp hữu hạn (hộp, ngăn kéo, chuồng bồ câu), nhưng nó cũng có thể được áp dụng đối với các tập hợp vô hạn không thể được đặt vào song ánh. Cụ thể trong trường hợp này nguyên lý có nội dung là: “không tồn tại một đơn ánh trên những tập hợp hữu hạn mà codomain của nó nhỏ hơn tập xác định của nó”. Một số định lý của toán học như bổ đề Siegel được xây dựng trên nguyên lý này.

Trong bất đẳng thức, nó được áp dụng để giải một số bài toán bất đẳng thức không thuần nhất:
Trong ba số $a,b,c$ luôn có hai số nằm cùng phía với số $m$ bất kỳ (hoặc lớn hơn bằng $m$ hoặc bé hơn bằng $m$).
Bài Toán 1. Cho $a$, $b$, $c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng \[{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2abc + 1 \ge 2\left( {ab + bc + ca} \right)\] Lời giải. Dễ nhận thấy đẳng thức xảy ra tại $a=b=c=1$. Dựa trên nguyên lý Dirichlet thì trong ba số $a-1$, $b-1$, $c-1$ luôn có hai số cùng dấu. Giả sử hai số đó là $a-1$, $b-1$, ta có $$c(a-1)(b-1) \ge 0.$$ Bất đẳng thức đã cho tương đương với \[{\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} + c\left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right) \ge 0.\] Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$.

Bài Toán 2. [APMO 2005] Cho các số thực dương $a$, $b$, $c$. Chứng minh rằng \[({a^2}+2)(b^2+2)(c^2+2) \ge 3{(a+b+c)^2}\] Lời Giải. Nhận thấy đẳng thức xảy ra tại $a=b=c=1$. Dựa trên nguyên lý Dirichlet thì trong ba số ${a^2}-1$, ${b^2}-1$, ${c^2}-1$ luôn có hai số cùng dấu. Giả sử hai số đó là ${a^2}-1$, ${b^2}-1$, ta có $$({a^2}-1)({b^2}-1) \ge 0.$$ Từ đó ta có bất đẳng thức sau \[\left( {{a^2} + 2} \right)\left( {{b^2} + 2} \right) = 3\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + 3 + \left( {{a^2} - 1} \right)\left( {{b^2} - 1} \right) \ge 3\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + 3.\] Ta quy về bài toán chứng minh bất đẳng thức sau \[\left( {{a^2} + {b^2} + 1} \right)\left( {{c^2} + 2} \right) \ge {\left( {a + b + c} \right)^2}.\] Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có \[\left( {{a^2} + {b^2} + 1} \right)\left( {1 + 1 + {c^2}} \right) \ge {\left( {a + b + c} \right)^2}.\] Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$.

Bài Toán 3. Cho $a$, $b$, $c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng \[\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)\left( {{c^2} + 1} \right) \ge \frac{5}{{16}}{\left( {a + b + c + 1} \right)^2}\] Lời Giải. Trong ba số $a$, $b$, $c$ luôn có hai số nằm cùng phía với $\dfrac{1}{4}$. Không mất tính tổng quát, giả sử ${b}^{2}$ và ${c}^{2}$ nằm cùng phía với $\dfrac{1}{4}$, ta có \[\left( {{b^2} - \frac{1}{4}} \right)\left( {{c^2} - \frac{1}{4}} \right) \ge 0.\] Vì vậy ta có bất đẳng thức sau \[\left( {{b^2} + 1} \right)\left( {{c^2} + 1} \right) = \left( {{b^2} - \frac{1}{4}} \right)\left( {{c^2} - \frac{1}{4}} \right) + \frac{5}{4}{b^2} + \frac{5}{4}{c^2} + \frac{{15}}{{16}} \ge \frac{5}{4}{b^2} + \frac{5}{4}{c^2} + \frac{{15}}{{16}}.\] Ta cần chứng minh \[\left( {4{b^2} + 4{c^2} + 3} \right)\left( {{a^2} + 1} \right) \ge {\left( {a + b + c + 1} \right)^2}.\] Sử dụng bất đẳng thức $CBS$ ta có \[\left( {4{b^2} + 4{c^2} + 1 + 2} \right)\left( {\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + {a^2} + \frac{1}{2}} \right) \ge {\left( {a + b + c + 1} \right)^2}.\] Từ đây bất đẳng thức đã được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\dfrac{1}{2}$.

Bài Toán 4. Cho các số thực dương $a$, $b$, $c$ thỏa mãn điều kiện $a+b+c=3$. Chứng minh rằng \[(a^2-a+1)(b^2-b+1)(c^2-c+1) \ge 1\] Lời Giải. Dựa trên nguyên lý Dirichlet thì trong ba số $a-1$, $b-1$, $c-1$ với $a+b+c=3$ thì luôn có hai số cùng dấu. Không mất tính tổng quát, giả sử $(a-1)(b-1) \ge 0$. Ta có \[(b^2-b+1)(c^2-c+1)=bc(b-1)(c-1)+b^2+c^2-b-c+1 \ge b^2+c^2-b-c+1.\] Ta lại có \[b^2+c^2-b-c+1\geq \dfrac{1}{2}(b+c)^2 - (b+c) +1 = \dfrac{1}{2}(3-a)^2 - (3-a) +1=\dfrac{1}{2}(a^2 - 4a+5).\] Ta quy về bài toán chứng minh bất đẳng thức sau \[(a^2-a+1)(a^2-4a+5) \ge 2.\] Bất đẳng thức trên đúng với mọi $a$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a = b = c = 1$.

Bài Toán 5. [Lê Khánh Sỹ] Cho $a$, $b$, $c$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $a + b + c = 3$. Chứng minh rằng \[\dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} - 2a + 4}} + \dfrac{{{b^2}}}{{{b^2} - 2b + 4}} + \dfrac{{{c^2}}}{{{c^2} - 2c + 4}} \ge 1\] Lời Giải. Trong ba số $a$, $b$, $c$ luôn có hai số nằm cùng phía với $1$. Không mất tính tổng quát, giả sử $b$ và $c$ nằm cùng phía với $1$ ta có \[\left( {b - 1} \right)\left( {c - 1} \right) \ge 0.\] Vì vậy ta có được bất đẳng thức sau \[{b^2} + {c^2} \le {b^2} + {c^2} + \left( {b - 1} \right)\left( {c - 1} \right) = 1 + {\left( {b + c - 1} \right)^2} = 1 + {\left( {2 - a} \right)^2}.\] Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có \[\dfrac{{{b^2}}}{{{b^2} - 2b + 4}} + \dfrac{{{c^2}}}{{{c^2} - 2c + 4}} \ge \dfrac{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}{{\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - 2\left( {b + c} \right) + 8}} \ge \dfrac{{{{\left( {3 - a} \right)}^2}}}{{1 + \left( {2 - {a^2}} \right) - 2\left( {3 - a} \right) + 8}}.\] Ta cần chứng minh \[\frac{{{{\left( {3 - a} \right)}^2}}}{{{a^2} - 2a + 7}} + \frac{{{a^2}}}{{{a^2} - 2a + 4}} \ge 1.\] Sau khi khai triển rút gọn ta được bất đẳng thức sau \[{\left( {a - 1} \right)^2}\left( {{a^2} - 4a + 8} \right) \ge 0.\] Bất đẳng thức trên đúng với mọi $a$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a = b = c = 1$.

Bài Toán 6. [Lê Khánh Sỹ] Cho các số thực dương $a$, $b$, $c$. Chứng minh rằng khi đó ta có \[\dfrac{a+b}{c}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}\ge 2\sqrt{(a+b+c)\left(\dfrac{a}{bc}+\dfrac{b}{ca}+ \dfrac{c}{ab} \right)}\] Lời Giải. Không mất tính tổng quát giả sử $b$ nằm giữa $a$ và $c$. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với \[abc(a+b+c)+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 \geq 2\sqrt{abc(ab+bc+ca)(ab^2+bc^2+ca^2)}.\] Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta có \[\begin{align} 2\sqrt{abc(ab+bc+ca)(ab^2+bc^2+ca^2)} & \leq ac(ab+bc+ca)+b(ab^2+bc^2+ca^2)\\ & =a^2bc+abc^2+a^2c^2+ab^3+b^2c^2+a^2bc \end{align}.\] Ta cần chứng minh \[a^2b^2+ab^2c \geq ab^3+a^2bc \Leftrightarrow ab(c-b)(b-a) \geq 0\] Hoàn tất việc chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a = b = c$.

Để hiểu rõ hơn về ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong chứng minh bất đẳng thức, mời bạn đọc tham khảo hai tài liệu sau


Post a Comment


$hide=home

$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0

$hide=post$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0

$hide=home

Kỷ Yếu$cl=violet$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0

Journals$cl=green$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0

Name

Ả-rập Xê-út,1,Abel,5,Albania,2,AMM,2,Amsterdam,5,Ấn Độ,1,An Giang,21,Andrew Wiles,1,Anh,2,Áo,1,APMO,19,Ba Đình,2,Ba Lan,1,Bà Rịa Vũng Tàu,51,Bắc Giang,49,Bắc Kạn,1,Bạc Liêu,9,Bắc Ninh,46,Bắc Trung Bộ,7,Bài Toán Hay,5,Balkan,37,Baltic Way,30,BAMO,1,Bất Đẳng Thức,66,Bến Tre,46,Benelux,13,Bình Định,43,Bình Dương,21,Bình Phước,38,Bình Thuận,34,Birch,1,Booklet,11,Bosnia Herzegovina,3,BoxMath,3,Brazil,2,Bùi Đắc Hiên,1,Bùi Thị Thiện Mỹ,1,Bùi Văn Tuyên,1,Bùi Xuân Diệu,1,Bulgaria,5,Buôn Ma Thuột,1,BxMO,12,Cà Mau,13,Cần Thơ,14,Canada,39,Cao Bằng,6,Cao Quang Minh,1,Câu Chuyện Toán Học,36,Caucasus,2,CGMO,10,China,10,Chọn Đội Tuyển,347,Chu Tuấn Anh,1,Chuyên Đề,124,Chuyên Sư Phạm,31,Chuyên Trần Hưng Đạo,3,Collection,8,College Mathematic,1,Concours,1,Cono Sur,1,Contest,610,Correspondence,1,Cosmin Poahata,1,Crux,2,Czech-Polish-Slovak,25,Đà Nẵng,39,Đa Thức,2,Đại Số,20,Đắk Lắk,54,Đắk Nông,7,Đan Phượng,1,Danube,7,Đào Thái Hiệp,1,ĐBSCL,2,Đề Thi HSG,1637,Đề Thi JMO,1,Điện Biên,8,Định Lý,1,Định Lý Beaty,1,Đỗ Hữu Đức Thịnh,1,Do Thái,3,Doãn Quang Tiến,4,Đoàn Quỳnh,1,Đoàn Văn Trung,1,Đống Đa,4,Đồng Nai,49,Đồng Tháp,51,Du Hiền Vinh,1,Đức,1,Duyên Hải Bắc Bộ,25,E-Book,33,EGMO,16,ELMO,19,EMC,8,Epsilon,1,Estonian,5,Euler,1,Evan Chen,1,Fermat,3,Finland,4,Forum Of Geometry,2,Furstenberg,1,G. Polya,3,Gặp Gỡ Toán Học,26,Gauss,1,GDTX,3,Geometry,12,Gia Lai,25,Gia Viễn,2,Giải Tích Hàm,1,Giảng Võ,1,Giới hạn,2,Goldbach,1,Hà Giang,2,Hà Lan,1,Hà Nam,29,Hà Nội,231,Hà Tĩnh,72,Hà Trung Kiên,1,Hải Dương,49,Hải Phòng,42,Hàn Quốc,5,Hậu Giang,4,Hậu Lộc,1,Hilbert,1,Hình Học,33,HKUST,7,Hòa Bình,13,Hoài Nhơn,1,Hoàng Bá Minh,1,Hoàng Minh Quân,1,Hodge,1,Hojoo Lee,2,HOMC,5,HongKong,8,HSG 10,100,HSG 11,84,HSG 12,580,HSG 9,402,HSG Cấp Trường,78,HSG Quốc Gia,99,HSG Quốc Tế,16,Hứa Lâm Phong,1,Hứa Thuần Phỏng,1,Hùng Vương,2,Hưng Yên,32,Hương Sơn,2,Huỳnh Kim Linh,1,Hy Lạp,1,IMC,25,IMO,54,India,45,Inequality,13,InMC,1,International,307,Iran,11,Jakob,1,JBMO,41,Jewish,1,Journal,20,Junior,38,K2pi,1,Kazakhstan,1,Khánh Hòa,16,KHTN,53,Kiên Giang,63,Kim Liên,1,Kon Tum,18,Korea,5,Kvant,2,Kỷ Yếu,42,Lai Châu,4,Lâm Đồng,33,Lạng Sơn,21,Langlands,1,Lào Cai,16,Lê Hải Châu,1,Lê Hải Khôi,1,Lê Hoành Phò,4,Lê Khánh Sỹ,3,Lê Minh Cường,1,Lê Phúc Lữ,1,Lê Phương,1,Lê Quý Đôn,1,Lê Viết Hải,1,Lê Việt Hưng,1,Leibniz,1,Long An,42,Lớp 10,10,Lớp 10 Chuyên,452,Lớp 10 Không Chuyên,229,Lớp 11,1,Lục Ngạn,1,Lượng giác,1,Lương Tài,1,Lưu Giang Nam,2,Lý Thánh Tông,1,Macedonian,1,Malaysia,1,Margulis,2,Mark Levi,1,Mathematical Excalibur,1,Mathematical Reflections,1,Mathematics Magazine,1,Mathematics Today,1,Mathley,1,MathLinks,1,MathProblems Journal,1,Mathscope,8,MathsVN,5,MathVN,1,MEMO,10,Metropolises,4,Mexico,1,MIC,1,Michael Guillen,1,Mochizuki,1,Moldova,1,Moscow,1,Mỹ,9,MYTS,4,Nam Định,32,Nam Phi,1,Nam Trung Bộ,1,National,249,Nesbitt,1,Newton,4,Nghệ An,50,Ngô Bảo Châu,2,Ngô Việt Hải,1,Ngọc Huyền,2,Nguyễn Anh Tuyến,1,Nguyễn Bá Đang,1,Nguyễn Đình Thi,1,Nguyễn Đức Tấn,1,Nguyễn Đức Thắng,1,Nguyễn Duy Khương,1,Nguyễn Duy Tùng,1,Nguyễn Hữu Điển,3,Nguyễn Mình Hà,1,Nguyễn Minh Tuấn,8,Nguyễn Phan Tài Vương,1,Nguyễn Phú Khánh,1,Nguyễn Phúc Tăng,1,Nguyễn Quản Bá Hồng,1,Nguyễn Quang Sơn,1,Nguyễn Tài Chung,5,Nguyễn Tăng Vũ,1,Nguyễn Tất Thu,1,Nguyễn Thúc Vũ Hoàng,1,Nguyễn Trung Tuấn,8,Nguyễn Tuấn Anh,2,Nguyễn Văn Huyện,3,Nguyễn Văn Mậu,25,Nguyễn Văn Nho,1,Nguyễn Văn Quý,2,Nguyễn Văn Thông,1,Nguyễn Việt Anh,1,Nguyễn Vũ Lương,2,Nhật Bản,3,Nhóm $\LaTeX$,4,Nhóm Toán,1,Ninh Bình,41,Ninh Thuận,15,Nội Suy Lagrange,2,Nội Suy Newton,1,Nordic,19,Olympiad Corner,1,Olympiad Preliminary,2,Olympic 10,97,Olympic 10/3,5,Olympic 11,88,Olympic 12,30,Olympic 24/3,6,Olympic 27/4,19,Olympic 30/4,65,Olympic KHTN,6,Olympic Sinh Viên,73,Olympic Tháng 4,11,Olympic Toán,298,Olympic Toán Sơ Cấp,3,PAMO,1,Phạm Đình Đồng,1,Phạm Đức Tài,1,Phạm Huy Hoàng,1,Pham Kim Hung,3,Phạm Quốc Sang,2,Phan Huy Khải,1,Phan Thành Nam,1,Pháp,2,Philippines,8,Phú Thọ,30,Phú Yên,26,Phùng Hồ Hải,1,Phương Trình Hàm,11,Phương Trình Pythagoras,1,Pi,1,Polish,32,Problems,1,PT-HPT,14,PTNK,44,Putnam,25,Quảng Bình,44,Quảng Nam,31,Quảng Ngãi,33,Quảng Ninh,43,Quảng Trị,26,Quỹ Tích,1,Riemann,1,RMM,12,RMO,24,Romania,36,Romanian Mathematical,1,Russia,1,Sách Thường Thức Toán,7,Sách Toán,69,Sách Toán Cao Học,1,Sách Toán THCS,7,Saudi Arabia,7,Scholze,1,Serbia,17,Sharygin,24,Shortlists,56,Simon Singh,1,Singapore,1,Số Học - Tổ Hợp,27,Sóc Trăng,28,Sơn La,11,Spain,8,Star Education,5,Stars of Mathematics,11,Swinnerton-Dyer,1,Talent Search,1,Tăng Hải Tuân,2,Tạp Chí,14,Tập San,6,Tây Ban Nha,1,Tây Ninh,29,Thạch Hà,1,Thái Bình,39,Thái Nguyên,49,Thái Vân,2,Thanh Hóa,57,THCS,2,Thổ Nhĩ Kỳ,5,Thomas J. Mildorf,1,THPT Chuyên Lê Quý Đôn,1,THPTQG,15,THTT,6,Thừa Thiên Huế,35,Tiền Giang,19,Tin Tức Toán Học,1,Titu Andreescu,2,Toán 12,7,Toán Cao Cấp,3,Toán Chuyên,2,Toán Rời Rạc,5,Toán Tuổi Thơ,3,Tôn Ngọc Minh Quân,2,TOT,1,TPHCM,124,Trà Vinh,5,Trắc Nghiệm,1,Trắc Nghiệm Toán,2,Trại Hè,34,Trại Hè Hùng Vương,25,Trại Hè Phương Nam,5,Trần Đăng Phúc,1,Trần Minh Hiền,2,Trần Nam Dũng,9,Trần Phương,1,Trần Quang Hùng,1,Trần Quốc Anh,2,Trần Quốc Luật,1,Trần Quốc Nghĩa,1,Trần Tiến Tự,1,Trịnh Đào Chiến,2,Trung Quốc,12,Trường Đông,19,Trường Hè,7,Trường Thu,1,Trường Xuân,2,TST,55,Tuyên Quang,6,Tuyển Sinh,3,Tuyển Tập,44,Tuymaada,4,Undergraduate,66,USA,44,USAJMO,10,USATST,7,Uzbekistan,1,Vasile Cîrtoaje,4,Vật Lý,1,Viện Toán Học,2,Vietnam,4,Viktor Prasolov,1,VIMF,1,Vinh,27,Vĩnh Long,20,Vĩnh Phúc,63,Virginia Tech,1,VLTT,1,VMEO,4,VMF,12,VMO,46,VNTST,22,Võ Anh Khoa,1,Võ Quốc Bá Cẩn,26,Võ Thành Văn,1,Vojtěch Jarník,6,Vũ Hữu Bình,7,Vương Trung Dũng,1,WFNMC Journal,1,Wiles,1,Yên Bái,17,Yên Định,1,Yên Thành,1,Zhautykov,11,Zhou Yuan Zhe,1,
ltr
item
MOlympiad: Ứng Dụng Nguyên Lý Dirichlet Trong Chứng Minh Bất Đẳng Thức
Ứng Dụng Nguyên Lý Dirichlet Trong Chứng Minh Bất Đẳng Thức
MOlympiad
https://www.molympiad.net/2017/07/ung-dung-nguyen-ly-dirichlet-trong-chung-minh-bat-dang-thuc.html
https://www.molympiad.net/
https://www.molympiad.net/
https://www.molympiad.net/2017/07/ung-dung-nguyen-ly-dirichlet-trong-chung-minh-bat-dang-thuc.html
true
2506595080985176441
UTF-8
Loaded All Posts Not found any posts VIEW ALL Readmore Reply Cancel reply Delete By Home PAGES POSTS View All RECOMMENDED FOR YOU LABEL ARCHIVE SEARCH ALL POSTS Not found any post match with your request Back Home Sunday Monday Tuesday Wednesday Thursday Friday Saturday Sun Mon Tue Wed Thu Fri Sat January February March April May June July August September October November December Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec just now 1 minute ago $$1$$ minutes ago 1 hour ago $$1$$ hours ago Yesterday $$1$$ days ago $$1$$ weeks ago more than 5 weeks ago Followers Follow THIS PREMIUM CONTENT IS LOCKED Please share to unlock Copy All Code Select All Code All codes were copied to your clipboard Can not copy the codes / texts, please press [CTRL]+[C] (or CMD+C with Mac) to copy