$hide=mobile

[Lời Giải và Bình Luận] Đề Thi Toán Quốc Tế IMO 2020

  1. Cho tứ giác lồi $ABCD$. Điểm $P$ nằm bên trong của $ABCD$. Biết rằng $$\angle PAD :\angle PBA :\angle DPA = 1: 2: 3 = \angle CBP :\angle BAP :\angle BPC.$$ Chứng minh rẳng ba đường thẳng sau cùng đi qua một điểm: các phân giác trong của các góc $\angle ADP$ và $\angle PCB$ và đường trung trực của đoạn thẳng $AB$.
  2. Cho các số thực $a, b, c, d$ thỏa mãn $a \geq b \geq c \geq d > 0$ và $a + b + c + d = 1$. Chứng minh rằng $$(a + 2b + 3c + 4d) a^a b^b c^c d^d < 1.$$
  3. Cho $4n$ viên sỏi với khối lượng $1, 2, 3, . . . , 4n$. Mỗi viên sỏi được tô bởi một trong $n$ màu và có đúng bốn viên mỗi màu. Chứng minh rằng ta có thể chia các viên sỏi thành hai đống sao cho hai điều kiện sau đồng thời được thỏa mãn
    • Tổng khối lượng của các viên sỏi ở hai đống là bằng nhau.
    • Trong mỗi đống có đúng hai viên sỏi mỗi màu
  4. Cho số nguyên $n > 1$. Có $n^2$ ga cáp treo trên một sườn núi tại các độ cao khác nhau. Có hai công ty cáp treo $A$ và $B$, mỗi công ty vận hành $k$ xe cáp treo. Mỗi xe vận chuyển khách từ một ga này đến một ga khác ở vị trí cao hơn và không dừng ở các ga trung gian. Biết rằng, $k$ xe của công ty $A$ có $k$ ga đi khác nhau và $k$ ga đến khác nhau, đồng thời xe nào xuất phát ở ga cao hơn cũng sẽ kết thúc ở ga cao hơn. Điều này cũng đúng với các xe của công ty $B$. Ta nói rằng hai ga được nối bời một công ty nếu có thể xuất phát từ ga thấp hơn đi đến ga cao hơn mà chỉ sử dụng một hoặc nhiều xe của công ty đó (không có cách di chuyển nào khác giữa các ga cáp treo). Xác định số nguyên dương $k$ nhỏ nhất sao cho ta có thể đảm bảo rằng luôn có hai ga được nối bởi cả hai công ty.
  5. Cho một bộ bài gồm $n > 1$ quân bài. Trên mỗi quân bài được viết một số nguyên dương. Biết rằng trung bình cộng của hai số trên mỗi cặp quân bài cũng là trung bình nhân của các số trên một vài quân bài nào đó (có thể gồm một hoặc nhiều quân). Với những giá trị nào của $n$ thì ta có thể khẳng định được rằng các số trên các quân bài là bằng nhau?
  6. Chứng minh rằng tồn tại hằng số dương $c$ sao cho khẳng định sau đúng: Với mọi số nguyên $n > 1$ và một tập $\mathcal{S}$ gồm $n$ điểm trên mặt phẳng sao cho khoảng cách giữa hai điểm bất kì của $\mathcal{S}$ ít nhất là $1$, ta có một đường thẳng $\mathcal{l}$ chia tách tập $\mathcal{S}$ sao cho khoảng cách từ mỗi điểm của $\mathcal{S}$ đến $\mathcal{l}$ ít nhất là $cn^{−1/3}$. (Ta nói đường thẳng $\mathcal{l}$ chia tách một tập điểm $\mathcal{S}$ nếu nó cắt một đoạn thẳng nối hai điểm nào đó của tập $\mathcal{S}$.) Lưu ý. Các kết quả yếu hơn với $cn^{−1/3}$ được thay bởi $cn^{−\alpha}$ có thể được cho điểm tùy thuộc vào giá trị của hằng số $\alpha > 1/3.$

Post a Comment


$hide=home

$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0

$hide=post$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0

$hide=home

Kỷ Yếu$cl=violet$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0

Journals$cl=green$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0

Name

Ả-rập Xê-út,1,Abel,5,Albania,2,AMM,2,Amsterdam,5,Ấn Độ,1,An Giang,22,Andrew Wiles,1,Anh,2,Áo,1,APMO,19,Ba Đình,2,Ba Lan,1,Bà Rịa Vũng Tàu,52,Bắc Giang,49,Bắc Kạn,1,Bạc Liêu,9,Bắc Ninh,47,Bắc Trung Bộ,7,Bài Toán Hay,5,Balkan,37,Baltic Way,30,BAMO,1,Bất Đẳng Thức,66,Bến Tre,46,Benelux,13,Bình Định,44,Bình Dương,21,Bình Phước,38,Bình Thuận,34,Birch,1,Booklet,11,Bosnia Herzegovina,3,BoxMath,3,Brazil,2,Bùi Đắc Hiên,1,Bùi Thị Thiện Mỹ,1,Bùi Văn Tuyên,1,Bùi Xuân Diệu,1,Bulgaria,5,Buôn Ma Thuột,1,BxMO,12,Cà Mau,13,Cần Thơ,14,Canada,39,Cao Bằng,6,Cao Quang Minh,1,Câu Chuyện Toán Học,36,Caucasus,2,CGMO,10,China,10,Chọn Đội Tuyển,347,Chu Tuấn Anh,1,Chuyên Đề,124,Chuyên Sư Phạm,31,Chuyên Trần Hưng Đạo,3,Collection,8,College Mathematic,1,Concours,1,Cono Sur,1,Contest,610,Correspondence,1,Cosmin Poahata,1,Crux,2,Czech-Polish-Slovak,25,Đà Nẵng,39,Đa Thức,2,Đại Số,20,Đắk Lắk,54,Đắk Nông,7,Đan Phượng,1,Danube,7,Đào Thái Hiệp,1,ĐBSCL,2,Đề Thi HSG,1643,Đề Thi JMO,1,Điện Biên,8,Định Lý,1,Định Lý Beaty,1,Đỗ Hữu Đức Thịnh,1,Do Thái,3,Doãn Quang Tiến,4,Đoàn Quỳnh,1,Đoàn Văn Trung,1,Đống Đa,4,Đồng Nai,49,Đồng Tháp,51,Du Hiền Vinh,1,Đức,1,Duyên Hải Bắc Bộ,25,E-Book,33,EGMO,16,ELMO,19,EMC,8,Epsilon,1,Estonian,5,Euler,1,Evan Chen,1,Fermat,3,Finland,4,Forum Of Geometry,2,Furstenberg,1,G. Polya,3,Gặp Gỡ Toán Học,26,Gauss,1,GDTX,3,Geometry,12,Gia Lai,25,Gia Viễn,2,Giải Tích Hàm,1,Giảng Võ,1,Giới hạn,2,Goldbach,1,Hà Giang,2,Hà Lan,1,Hà Nam,29,Hà Nội,231,Hà Tĩnh,72,Hà Trung Kiên,1,Hải Dương,49,Hải Phòng,42,Hàn Quốc,5,Hậu Giang,4,Hậu Lộc,1,Hilbert,1,Hình Học,33,HKUST,7,Hòa Bình,13,Hoài Nhơn,1,Hoàng Bá Minh,1,Hoàng Minh Quân,1,Hodge,1,Hojoo Lee,2,HOMC,5,HongKong,8,HSG 10,100,HSG 11,87,HSG 12,581,HSG 9,402,HSG Cấp Trường,78,HSG Quốc Gia,99,HSG Quốc Tế,16,Hứa Lâm Phong,1,Hứa Thuần Phỏng,1,Hùng Vương,2,Hưng Yên,32,Hương Sơn,2,Huỳnh Kim Linh,1,Hy Lạp,1,IMC,25,IMO,54,India,45,Inequality,13,InMC,1,International,307,Iran,11,Jakob,1,JBMO,41,Jewish,1,Journal,20,Junior,38,K2pi,1,Kazakhstan,1,Khánh Hòa,16,KHTN,53,Kiên Giang,64,Kim Liên,1,Kon Tum,18,Korea,5,Kvant,2,Kỷ Yếu,42,Lai Châu,4,Lâm Đồng,33,Lạng Sơn,21,Langlands,1,Lào Cai,16,Lê Hải Châu,1,Lê Hải Khôi,1,Lê Hoành Phò,4,Lê Khánh Sỹ,3,Lê Minh Cường,1,Lê Phúc Lữ,1,Lê Phương,1,Lê Quý Đôn,1,Lê Viết Hải,1,Lê Việt Hưng,1,Leibniz,1,Long An,42,Lớp 10,10,Lớp 10 Chuyên,452,Lớp 10 Không Chuyên,230,Lớp 11,1,Lục Ngạn,1,Lượng giác,1,Lương Tài,1,Lưu Giang Nam,2,Lý Thánh Tông,1,Macedonian,1,Malaysia,1,Margulis,2,Mark Levi,1,Mathematical Excalibur,1,Mathematical Reflections,1,Mathematics Magazine,1,Mathematics Today,1,Mathley,1,MathLinks,1,MathProblems Journal,1,Mathscope,8,MathsVN,5,MathVN,1,MEMO,10,Metropolises,4,Mexico,1,MIC,1,Michael Guillen,1,Mochizuki,1,Moldova,1,Moscow,1,Mỹ,9,MYTS,4,Nam Định,32,Nam Phi,1,Nam Trung Bộ,1,National,249,Nesbitt,1,Newton,4,Nghệ An,50,Ngô Bảo Châu,2,Ngô Việt Hải,1,Ngọc Huyền,2,Nguyễn Anh Tuyến,1,Nguyễn Bá Đang,1,Nguyễn Đình Thi,1,Nguyễn Đức Tấn,1,Nguyễn Đức Thắng,1,Nguyễn Duy Khương,1,Nguyễn Duy Tùng,1,Nguyễn Hữu Điển,3,Nguyễn Mình Hà,1,Nguyễn Minh Tuấn,8,Nguyễn Phan Tài Vương,1,Nguyễn Phú Khánh,1,Nguyễn Phúc Tăng,1,Nguyễn Quản Bá Hồng,1,Nguyễn Quang Sơn,1,Nguyễn Tài Chung,5,Nguyễn Tăng Vũ,1,Nguyễn Tất Thu,1,Nguyễn Thúc Vũ Hoàng,1,Nguyễn Trung Tuấn,8,Nguyễn Tuấn Anh,2,Nguyễn Văn Huyện,3,Nguyễn Văn Mậu,25,Nguyễn Văn Nho,1,Nguyễn Văn Quý,2,Nguyễn Văn Thông,1,Nguyễn Việt Anh,1,Nguyễn Vũ Lương,2,Nhật Bản,3,Nhóm $\LaTeX$,4,Nhóm Toán,1,Ninh Bình,41,Ninh Thuận,15,Nội Suy Lagrange,2,Nội Suy Newton,1,Nordic,19,Olympiad Corner,1,Olympiad Preliminary,2,Olympic 10,98,Olympic 10/3,5,Olympic 11,89,Olympic 12,30,Olympic 24/3,6,Olympic 27/4,20,Olympic 30/4,66,Olympic KHTN,6,Olympic Sinh Viên,73,Olympic Tháng 4,12,Olympic Toán,300,Olympic Toán Sơ Cấp,3,PAMO,1,Phạm Đình Đồng,1,Phạm Đức Tài,1,Phạm Huy Hoàng,1,Pham Kim Hung,3,Phạm Quốc Sang,2,Phan Huy Khải,1,Phan Thành Nam,1,Pháp,2,Philippines,8,Phú Thọ,30,Phú Yên,26,Phùng Hồ Hải,1,Phương Trình Hàm,11,Phương Trình Pythagoras,1,Pi,1,Polish,32,Problems,1,PT-HPT,14,PTNK,45,Putnam,25,Quảng Bình,44,Quảng Nam,31,Quảng Ngãi,33,Quảng Ninh,43,Quảng Trị,26,Quỹ Tích,1,Riemann,1,RMM,12,RMO,24,Romania,36,Romanian Mathematical,1,Russia,1,Sách Thường Thức Toán,7,Sách Toán,69,Sách Toán Cao Học,1,Sách Toán THCS,7,Saudi Arabia,7,Scholze,1,Serbia,17,Sharygin,24,Shortlists,56,Simon Singh,1,Singapore,1,Số Học - Tổ Hợp,27,Sóc Trăng,28,Sơn La,11,Spain,8,Star Education,5,Stars of Mathematics,11,Swinnerton-Dyer,1,Talent Search,1,Tăng Hải Tuân,2,Tạp Chí,14,Tập San,6,Tây Ban Nha,1,Tây Ninh,29,Thạch Hà,1,Thái Bình,39,Thái Nguyên,49,Thái Vân,2,Thanh Hóa,57,THCS,2,Thổ Nhĩ Kỳ,5,Thomas J. Mildorf,1,THPT Chuyên Lê Quý Đôn,1,THPTQG,15,THTT,6,Thừa Thiên Huế,35,Tiền Giang,19,Tin Tức Toán Học,1,Titu Andreescu,2,Toán 12,7,Toán Cao Cấp,3,Toán Chuyên,2,Toán Rời Rạc,5,Toán Tuổi Thơ,3,Tôn Ngọc Minh Quân,2,TOT,1,TPHCM,126,Trà Vinh,5,Trắc Nghiệm,1,Trắc Nghiệm Toán,2,Trại Hè,34,Trại Hè Hùng Vương,25,Trại Hè Phương Nam,5,Trần Đăng Phúc,1,Trần Minh Hiền,2,Trần Nam Dũng,9,Trần Phương,1,Trần Quang Hùng,1,Trần Quốc Anh,2,Trần Quốc Luật,1,Trần Quốc Nghĩa,1,Trần Tiến Tự,1,Trịnh Đào Chiến,2,Trung Quốc,12,Trường Đông,19,Trường Hè,7,Trường Thu,1,Trường Xuân,2,TST,55,Tuyên Quang,6,Tuyển Sinh,3,Tuyển Tập,44,Tuymaada,4,Undergraduate,66,USA,44,USAJMO,10,USATST,7,Uzbekistan,1,Vasile Cîrtoaje,4,Vật Lý,1,Viện Toán Học,2,Vietnam,4,Viktor Prasolov,1,VIMF,1,Vinh,27,Vĩnh Long,20,Vĩnh Phúc,63,Virginia Tech,1,VLTT,1,VMEO,4,VMF,12,VMO,46,VNTST,22,Võ Anh Khoa,1,Võ Quốc Bá Cẩn,26,Võ Thành Văn,1,Vojtěch Jarník,6,Vũ Hữu Bình,7,Vương Trung Dũng,1,WFNMC Journal,1,Wiles,1,Yên Bái,17,Yên Định,1,Yên Thành,1,Zhautykov,11,Zhou Yuan Zhe,1,
ltr
item
MOlympiad: [Lời Giải và Bình Luận] Đề Thi Toán Quốc Tế IMO 2020
[Lời Giải và Bình Luận] Đề Thi Toán Quốc Tế IMO 2020
MOlympiad
https://www.molympiad.net/2020/09/loi-giai-va-binh-luan-e-thi-toan-quoc.html
https://www.molympiad.net/
https://www.molympiad.net/
https://www.molympiad.net/2020/09/loi-giai-va-binh-luan-e-thi-toan-quoc.html
true
2506595080985176441
UTF-8
Loaded All Posts Not found any posts VIEW ALL Readmore Reply Cancel reply Delete By Home PAGES POSTS View All RECOMMENDED FOR YOU LABEL ARCHIVE SEARCH ALL POSTS Not found any post match with your request Back Home Sunday Monday Tuesday Wednesday Thursday Friday Saturday Sun Mon Tue Wed Thu Fri Sat January February March April May June July August September October November December Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec just now 1 minute ago $$1$$ minutes ago 1 hour ago $$1$$ hours ago Yesterday $$1$$ days ago $$1$$ weeks ago more than 5 weeks ago Followers Follow THIS PREMIUM CONTENT IS LOCKED Please share to unlock Copy All Code Select All Code All codes were copied to your clipboard Can not copy the codes / texts, please press [CTRL]+[C] (or CMD+C with Mac) to copy