[Đáp Án] Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Lớp 12 TP Hải Phòng 2018-2019 (Bảng Không Chuyên)

1. a) Cho hàm số $y=x^{3}+3 x^{2}-9 x+1$ có đồ thị là $(C)$. Gọi $A$, $B$ là hai điểm cực trị của $(C)$. Tính diện tích của tam giác $O A B$ trong đó $O$ là gốc tọa độ.
   b) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y=2 x+m \sqrt{x^{2}+4 x+6}$ có cực tiểu.
2. a) Giäi phương trình $$\frac{2 \sin ^{3} x-\sin x+\cos 2 x}{\tan x-1}=0.$$ b) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hệ phương trình sau có nghiệm $$\begin{cases}2 x^{3}-(y-2) x^{2}-x y &=m \\ x^{2}+3 x-y &=1-2 m\end{cases}.$$
3. Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$. Biết $A B=B C=a$, $A D=2 a$; $S A=2 a$ và vuông góc với mặt phẳng $(A B C D)$.
   a) Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng $(S B C)$ và $(S C D)$.
   b) Cho $M$ là điểm nằm trên cạnh $S A$ sao cho $S M=x$ $(0<x<2 a)$. Mặt phẳng $(B C M)$ chia khối chóp thành hai phần có thể tích là $V_{1}$ và $V_{2}$ (trong đó $V_{1}$ là thể tích của phần chứa đình $S$). Tìm $x$ để $\dfrac{V_{1}}{V_{2}}=\dfrac{1}{2}$.
4. Một quân vua được đặt trên một ô giữa bàn cờ vua. Mỗi bước di chuyền, quân vua được chuyền sang một ô khác chung cạnh hoặc chung đỉnh với ô đang đứng (xem hình minh họa). Bạn An di chuyền quân vua ngẫu nhiên $3$ bước. Tính xác suất để sau $3$ bước đi quân vua trở về ô xuất phát.
5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $O x y$ cho hình vuông $A B C D$ tâm $E$. Goi $G$ là trọng tâm tam giác $A B E$. Điểm $K(7 ;-2)$ thuộc đoạn $E D$ sao cho $G A=G K$. Tìm tọa độ đỉnh $A$ và viết phương trình cạnh $A B$, biết đường thẳng $A G$ có phương trình $3 x-y-13=0$ và đỉnh $A$ có hoành độ nhỏ hơn $4$.
6. Cho dãy số $\left\{u_{n}\right\}$ xác định bởi $$u_{1}=3,\quad u_{n+1}=\frac{1}{2}\left(\sqrt{u_{n}^{2}+5 u_{n}}+u_{n}\right),\,\forall n \in \mathbb{N}^*.$$ Ta thành lập dãy số $\left\{v_{n}\right\}$ với $$v_{n}=\frac{1}{u_{1}^{2}}+\frac{1}{u_{2}^{2}}+\ldots+\frac{1}{u_{n}^{2}} .$$ Chứng minh rằng dãy số $\left\{v_{n}\right\}$ có giới hạn và tính giới hạn đó.
7. Cho các số thực dương $x, y, z$ thỏa mãn điều kiện $x \geq y$, $x > z$, $x^{2}+9 y z \leq x z+9 x y$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$P=\sqrt[3]{\frac{9 y-x}{y}}+\frac{2 y+x}{x+y}+\frac{2 y+z}{y+z}+\frac{2 z+x}{x+z}.$$

DOWNLOAD ĐÁP ÁN